VERIFICA DELLE IPOTESI

TEST PER UN CAMPIONE SULLA TENDENZA CENTRALE CON VARIANZA NOTA

E TEST SULLA VARIANZA

CON INTERVALLI DI CONFIDENZA

4.5. CALCOLO DELLA POTENZA, DEL NUMERO MINIMO DI DATI E DELLA DIFFERENZA MINIMA IN TEST PER UN CAMPIONE, CON LA DISTRIBUZIONE Z

I concetti illustrati nel paragrafo precedente,

1 - sulla potenza del test (1 - b),

2 - sul numero minimo di dati () che occorre raccogliere affinché il test programmato possa poi risultare significativo,

3 - sulla differenza minima teorica (d) tra una media campionaria () rispetto a una media attesa (m), che si vuole dimostrare significativa,

in riferimento a un campione e con l’uso della distribuzione normale (Z), quindi con varianza (s²) nota, possono essere quantificati con precisione.

Un modo didatticamente semplice e che ne favorisce le applicazioni a casi reali è la dimostrazione con una serie di esempi, sviluppati in tutti i passaggi logici e metodologici.

Con essi saranno illustrati gli elementi più importanti di questi tre argomenti.

ESEMPIO 1. (CALCOLO DI b CON LA NORMALE) I concetti relativi ai fattori che determinano la potenza (1-b) di un test possono essere meglio spiegati con l’illustrazione grafica sottostante.

Per facilitarne la comprensione, è utile scomporre i diversi passaggi logici in tre parti.

I Parte - Dapprima si supponga che la quantità di principio attivo immesso in un farmaco sia m₀ = 100, come dichiarato dall’azienda. (Nella parte inferiore della figura precedente è riportato 0, sia per semplificazione, sia per indicare che la differenza tra valore reale e valore dichiarato è 0).

E’ ovvio che, a motivo delle variazioni non controllate nella produzione (quali differenze di temperatura ambientale, densità del farmaco, ecc.), non tutte le fiale prodotte saranno identiche e quindi non sempre la quantità immessa sarà uguale al valore 100 dichiarato.

Di conseguenza, neppure le medie campionarie, calcolate su confezioni di fiale, saranno sempre uguali.

In accordo con l’ipotesi H₀, la distribuzione delle medie campionarie avrà la forma della distribuzione normale riportata nella figura inferiore, con media reale m₀ = 0.

Di essa è possibile calcolare i limiti dell’intervallo di confidenza.

Supponendo che

- la deviazione standard delle fiale prodotte sia s = 2,8

- da questa popolazione sia stato estratto un campione di dimensione = 6

- la probabilità prefissata sia a = 0.05

l’intervallo di confidenza o intervallo fiduciale bilaterale

risulta

= m₀ ± Z_a = = ±2,24

Con probabilità pari a 0.95 (), le medie campionarie saranno comprese tra

- il limite inferiore -2,24 e

- il limite superiore +2,24 intorno a m₀ = 100.

Si può anche dedurre che un campione di = 6 osservazioni con media compresa entro questo intervallo deve essere ritenuto una variazione casuale della media reale m₀ = 100.

Quindi statisticamente non è differente da essa, in un test bilaterale.

II Parte - Ora si assuma invece che, benché la ditta dichiari come prima m₀ = 100, la quantità reale di principio attivo immesso, nota solo alla ditta, sia m₁ = 103.

Il ricercatore deve scoprire con un’analisi se la quantità immessa

- è effettivamente quella dichiarata (H₀ vera e quindi m₀ = 100)

- oppure probabilmente è differente (H₁ vera e quindi una quantità m ¹ m₀),

- utilizzando un test bilaterale,

poiché, in questo esempio, si ignora se la quantità effettiva immessa sia maggiore o minore di quella dichiarata.

Anche in questo caso, non tutte le fiale saranno identiche e non tutte le medie estratte da questa popolazione saranno uguali a m₁ = 103. (Questa nuova distribuzione delle medie campionarie è descritta nella parte superiore della stessa figura, intorno a 3).

Se questa distribuzione ha gli stessi parametri della precedente, quindi

- la deviazione standard delle fiale prodotte è s = 2,8

- da questa popolazione è stato estratto un campione di dimensione = 6

- la probabilità prefissata è a = 0.05

l’intervallo di confidenza o intervallo fiduciale bilaterale

risulta

= m₁ ± Z_a = = ±2,24

Le medie campionarie estratte da questa popolazione potranno variare tra -2,24 e +2,24 intorno alla media reale (ma ignota) m₁ = 103.

III Parte. Estraendo da questa seconda popolazione (con m₁ = 103) una confezione di 6 fiale, per solo effetto delle variazioni casuali la media campionaria potrà essere maggiore di 103, ma anche minore. Per l’inferenza statistica, cioè per affermare che la quantità reale immessa è uguale a m₀ = 100 oppure differente, i problemi sorgono quando la media campionaria , estratta dalla popolazione con media reale (ignota) m₁ = 103, è vicina a quella dell’ipotesi nulla m₀ = 100.

Infatti,

- se la media campionaria estratta dalla popolazione è più vicina a 100 di 102,24

- che rappresenta il limite superiore della distribuzione normale con media m = 100,

- dovremmo concludere che potrebbe essere una sua variazione casuale, con probabilità 1 - a.

Quindi, accetteremmo l’ipotesi nulla (H₀: m = 100) e non saremmo in grado di affermare che proviene da una popolazione con m diversa.

Commetteremmo un errore di II Tipo.

Questo rischio è b.

Il suo valore è dato da

Z_b =

dove, con i dati dell’esempio

m = 103 s = 2,8 = 6

si ottiene

Z_b = = -0,67

il risultato di Z_b uguale a –0,67.

In una tavola normale unilaterale a Z_b = 0,67 corrisponde una probabilità b = 0,251.

Si deve concludere che la potenza (1-b) di questo test è uguale a 0,749 (1 - 0,251). Spesso è espresso in percentuale: 74,9%.

Come già evidenziato, l’errore è commesso solo da una parte, poiché si ha errore solo quando il valore medio di un campione estratto da una popolazione con m₁ = 103 è "troppo" vicino al valore dell’ipotesi nulla m₀ = 100.

Ritornando ai concetti illustrati all’inizio del paragrafo, ora con i passaggi logici illustrati è semplice capire che

- scegliendo una probabilità a maggiore,

- diminuendo s,

- aumentando

- accrescendo d,

diminuisce la probabilità b e quindi aumenta la potenza (1-b) del test.

ESEMPIO 2. (CON UNA DIFFERENZA d MAGGIORE) Se a parità di tutti gli altri fattori considerati, come nella figura successiva in cui la distribuzione normale superiore è simmetrica intorno a 5,

la m reale dell’ipotesi alternativa H₁ fosse stata uguale a m = 105,

il valore di Z_b sarebbe risultato

Z_b = = -2,40

uguale a 2,40.

Quindi dalla tabella dei valori critici unilaterali si sarebbe ricavata una probabilità b = 0.008 (0,8%) e una potenza (1-b) pari a 0,992 (99,2%).

ESEMPIO 3. (Tratto, con modifiche, da p. 166 del testo di R. Sokal e J. Rohlf del 1995 Biometry (3^rd ed. W. H. Freeman and Company, New York, XIX + 887 p.). Calcolare il rischio b dei vari test di confronto tra e , riportati nella pagina successiva, con i parametri: = 0,05 bilaterale, = 3,9 e = 5.

Risposta. Per calcolare i 5 valori di b riportati nel grafico,

1 - dapprima si devono quantificare i valori rappresentati dalle due rette parallele, che delimitano l'intervallo di confidenza dell'ipotesi nulla H₀ con media .

2 - Per = 0,05 bilaterale e quindi = 1,96 e con = 3,9 e = 5

mediante

si ottengono

il limite inferiore = 42,08 e il limite superiore = 48,92.

3 – Successivamente, considerato che il valore di rappresenta la probabilità che un campione estratto casualmente dalla popolazione con media (H₁ vera) abbia una media che cade oltre il limite di confidenza più vicino (in questo caso ) della popolazione con media reale (H₀ vera), si stima tale probabilità.

Con = 54

si ottiene = 2,91.

Nella distribuzione normale unilaterale a essa corrisponde la probabilità P = 0,0018.

E' il valore di della prima figura.

4 - Con i valori successivi, la distanza dalla media dell'ipotesi nulla H₀: diminuisce; quindi progressivamente aumenta il rischio b. Ignorando la seconda figura con = 53 e utilizzando

la figura con = 51,5

si ottiene = 1,48.

Nella distribuzione normale unilaterale a essa corrisponde la probabilità P = 0,0694 come il valore di della terza figura.

Valori di con = 0,05 bilaterale, = 3,9 e = 5 per i vari

5 - Per la figura con = 50

si ottiene = 0,62.

Nella distribuzione normale unilaterale a essa corrisponde la probabilità P = 0,0694 come il valore di della quarta figura.

6 - Nell’ultima figura con = 48,5 la stima diventa un po’ più complessa, in particolare con la tabella della distribuzione normale unilaterale fino a ora utilizzata. Si può osservare che tale media è inferiore al limite superiore = 48,92 della H₀. In altri termini, la media si trova entro i limiti di confidenza della media come risulta visivamente nella figura. Di conseguenza sarà superiore a 0,5.

Con la procedura utilizzata fino a ora, si deve calcolare la quota aggiuntiva a 0,5.

Con la solita impostazione

si ottiene = -0,24.

Nella distribuzione normale unilaterale

- a = 0,24 corrisponde la probabilità P = 0,4052 e quindi

- a = -0,24 corrisponde la probabilità P = 0,0948 (da 0,5 - 0,4052).

Tale probabilità è da aggiungere a 0,5 ottenendo P = 0,5948 come riportato nell’ultima figura.

Avvicinando sempre più la media alla media tale probabilità P aumenta fino a quando le due medie coincidono e quindi, ovviamente, si ricaverebbe b = 1. Se si abbassa ancora il valore di e quindi , l'analisi ora presentata deve essere effettuata dall’altra parte della distribuzione.

I calcoli devono essere fatti non più rispetto a ma rispetto al limite inferiore .

Il valore 1 - b è chiamato potenza a posteriori. Di norma, quando il test non risulta significativo, serve per valutare quale poteva essere la probabilità di rifiutare l’ipotesi nulla, sulla base dei parametri (, , , ) utilizzati e del numero () dei dati raccolti.

Spesso, quando si programma un esperimento, a partire dai quattro parametri (, , , ) noti o prestabiliti è utile stimare la potenza a priori (), cioè il numero minimo di dati che è necessario raccogliere, affinché in tali condizioni il test risulti significativo. E’ un problema pratico rilevante rispondere alla domanda: “Quanti dati devo raccogliere, al fine di dimostrare con il test prescelto che una certa differenza è significativa?”

E’ la dimensione minima di un campione, per la stima della quale si deve prefissare

- uno specifico livello di significatività a, da cui dipende ,

- la direzione dell’ipotesi da verificare, da cui dipende ancora (se in unilaterale oppure bilaterale)

- un errore campionario, cioè , cioè la varianza della popolazione,

- la differenza d che si vuole dimostrare significativa, determinata dalla differenza tra m₀ e m₁.

Tale quantità minima è ricavata

dalla relazione

ESEMPIO 4. (CALCOLO DEL NUMERO MINIMO) Stimare quanti dati () è necessario raccogliere per dimostrare che la differenza d = 5 è significativa,

- con un esperimento in cui s² = 80

- effettuando un test bilaterale a un livello di significatività a = 0.05 (Z_a = 1,96)

- e con una potenza dell'80% (b = 0.20 e quindi Z_b = 0,84 in una distribuzione unilaterale).

Risposta. Con la formula

si ottiene

una stima = 25,01 che deve essere arrotondato all’intero superiore ( = 26).

Dalle varie formule utilizzate, si ricava sempre che entrano in gioco 5 fattori, legati da rapporti precisi:

a, b, d, s, .

Conoscendone 4, si stima il quinto.

Per stimare l’errore b di un test e quindi derivare la sua potenza (1-b), sono stati proposti anche metodi grafici che rendono la stima molto semplice e rapida, anche se hanno il difetto di nascondere quali sono i fattori implicati. Le curve riportate nel grafico successivo sono specifiche per test unilaterali o bilaterali alla sola probabilità a = 0.05, effettuati su un solo campione.

La procedura è fondata su alcuni nozioni, che possono essere schematizzate in 7 punti:

1 - la media sottesa nell’ipotesi nulla H₀ (m₀) è indicata con ;

2 - la media indicata nell’ipotesi alternativa H₁ (m₁) deve essere individuata sull’asse delle ascisse, a destra di se maggiore di m₀ oppure a sinistra se minore;

3 - la distanza tra le due medie (m₁ - m₀) è misurata in errori standard ();

4 - se il test è bilaterale si sale perpendicolarmente fino a incontrare la linea continua, indicata con A;

5 - se il test è unilaterale destro, si sale perpendicolarmente fino a incontrare la curva tratteggiata B;

6 - se il test è unilaterale sinistro, si sale perpendicolarmente fino a incontrare la curva tratteggiata C;

7 - la proiezione di questo punto sull’asse verticale indica il valore di b.

ESEMPIO 5. (STIMA DI b CON GRAFICO E DATI DELL’ESEMPIO 1, IPOTESI BILATERALE).

La distanza tra m₁ = 103 e m₀ = 100

misurata in deviazioni standard () con s = 2,8 e = 6

Riportato sull’asse delle ascisse del grafico a destra di , in quanto positivo,

- il valore 2,64 se proiettato verticalmente incontra la curva continua A in un punto

- che, trasferito orizzontalmente sull’asse delle ordinate, indica b = 0,25.

E’, approssimativamente, uguale al valore calcolato nell’esempio 3.

ESEMPIO 6. (STIMA DI b CON GRAFICO E DATI DELL’ESEMPIO 1, IPOTESI UNILATERALE).

La distanza tra m₁ = 103 e m₀ = 100

misurata in deviazioni standard con s = 2,8 e = 6

Riportato sull’asse delle ascisse del grafico a destra di , in quanto positivo,

- il valore 2,64 se proiettato verticalmente incontra la curva tratteggiata B in un punto

- che, trasferito orizzontalmente sull’asse delle ordinate, indica b = 0,17.

Tradotti in termini di potenza () i risultati di questi ultimi due esempi indicano che la probabilità di trovare significativa la differenza tra m₁ = 103 e m₀ = 100

- è pari al 75% in un test bilaterale,

- è pari al 83% in un test unilaterale.

Per risolvere lo stesso problema può essere utilizzata anche il grafico successivo, che riporta curve di potenza valide per test o intervalli di confidenza bilaterali.

Proposta nel 1946 da C. D. Ferris, F. E. Grubbs e L. C. Weaver con l’articolo Operating Characteristics for the Common Statistical Tests of Significance (pubblicato su Annals of Mathematical Statistics Vol. 17, p. 190),

la figura successiva

1 - è di uso ugualmente semplice per stimare la probabilità b,

2 – ma permette anche di stimare , il numero minimo di dati necessari per un test con i parametri specificati.

Per stimare b, nel grafico sono necessari due dati:

1) deve essere noto

2) deve essere calcolato il parametro l

attraverso la relazione

dove

- è la media m₀ dell’ipotesi nulla H₀

- è la media m₁ dell’ipotesi alternativa H₁

- è la deviazione standard vera.

L’indice l è del tutto analogo all’indice f = d / s, già presentato e che sarà utilizzato in altre curve di potenza.

Individuato il valore di l sull’asse delle ascisse,

- si sale verticalmente fino a incontrare la curva in un punto;

- trasferito orizzontalmente sull’asse delle ordinate, indica il rischio b.

ESEMPIO 7 (STIMA DI b CON STESSI DATI DELL’ESEMPIO 5, MA IPOTESI BILATERALE)

Con = 100 e = 103 e deviazione standard s = 2,8

l’indice l

è uguale a +1,07

Individuato sull’asse delle ascisse, il valore l = 1,07

- proiettato verticalmente incontra la curva teorica per = 6 in un punto

- che, trasferito orizzontalmente sull’asse delle ordinate, indica b = 0,25.

Un valore del tutto identico, seppure sempre approssimato nella lettura grafica, a quello individuato con il grafico precedente.

Questo ultimo grafico, come nell’esempio successivo, è utile anche per stimare le dimensioni minime () del campione,

- attraverso il valore di l,

- dopo aver prefissato il valore di b,

- in un test bilaterale (per un test unilaterale serve un grafico differente, qui non riportato)

ESEMPIO 8. (CON I DATI DELL’ESEMPIO 4, PER LA STIMA DI )

Stimare quanti dati () è necessario raccogliere per dimostrare che

- la differenza d = 5 è significativa,

- con un esperimento in cui s² = 80

- effettuando un test bilaterale a un livello di significatività a = 0.05

- e con una potenza dell'80% (b = 0.20).

Risposta. Da s = 8,94

con la formula

si ricava l = 0,56.

Individuato sull’asse delle ascisse, il valore l = 0,56

- incontra il valore b = 0,2

- in un punto che, approssimativamente, è collocato a meta tra la curva per = 30 e quella per = 20.

E’ un valore approssimato ma vicino a = 26, stimato in precedenza con la formula.

Nel calcolo del numero minimo di dati da raccogliere, illustrato in precedenza,

con l’uso della formula

in cui d = 5 si era ottenuto

per il numero di dati da raccogliere una stima = 25,01 arrotondata all’intero superiore ( = 26).

E’ molto importante evidenziare che

- per una differenza dimezzata

- il numero minimo di osservazioni è moltiplicato per 4:

e quindi che

- per una differenza ridotta a un quarto (d = 2,5 ), il numero minimo di osservazioni è moltiplicato per 16.

La differenza reale d (m₁ - m₀) è il terzo parametro che è possibile discutere

- nella fase di programmazione dell’esperimento,

- in quello di valutazione del risultato del test.

In un test per un campione, dopo la raccolta dei dati, d risulta significativa alla probabilità a

quando

d > Z_a

- è maggiore del valore di Z_a

- moltiplicato per l’errore standard .

Ma, prima della raccolta dei dati, è necessario prendere in considerazione anche b, poiché i dati raccolti casualmente possono essere minori o maggiori della media reale.

Per ottenere un test con potenza maggiore di 1-b,

il valore della differenza d deve essere

d ³ Z_b

maggiore del prodotto di Z_b per l’errore standard

Da questi due concetti, per rispettare entrambe le condizioni,

si deriva

Z_a £ d - Z_b

per cui il valore della differenza d

deve essere

d ³ (Z_a + Z_b)

Da queste relazioni si deducono i rapporti tra d e gli altri 4 parametri; a, b, s, statistici.

In realtà, al momento di effettuare il test, il valore di d che si vuole risulti significativo deve essere scelto sulla base di conoscenze differenti dalla statistica. Esse devono essere cercate entro la disciplina nella quale si effettua la prova sperimentale e il test. Il valore d deve avere una rilevanza disciplinare, deve essere significativo per gli effetti biologici, ambientali o farmacologici che determina.

Un valore d che sia troppo piccolo

- richiede un numero di dati troppo alto,

- molto raramente permette un test significativo,

- fornisce una risposta banale nella disciplina, in quanto irrilevante nei suoi effetti biologici, medici, farmacologi o ambientali. E solo virtuosismo statistico

I concetti generali illustrati in questo paragrafo, dell'effetto sulla potenza del test (1 - b)

1- del livello di a,

2 - delle dimensioni del campione ()

3 - della differenza (d) che si vuole dimostrare significativa,

4 - della varianza varianza (s²),

possono essere rappresentati graficamente per meglio evidenziare le loro relazioni.

Le 4 figure successive, sono tratte dal testo di James E. De Muth del 1999 Basic Statistics and Pharmaceutical Statistical Applications (edito da Marcel Dekker, Inc. New York, XXI + 596 da pag. 162 a pag. 164). In un test per un campione con

= 10 = 10 = 64 = 0.05

è stimata la potenza (riportata in ordinata), variando ogni volta uno solo dei 4 parametri.

Figura A. Variazioni della potenza (1-b) del test per a = 0.01 (linea inferiore tratteggiata) e a = 0.05 (linea superiore continua), all'aumentare delle dimensioni n del campione) sempre con d = 10 e s² = 64.

Figura B. Relazione tra la potenza 1-b (linea superiore continua) e errore di II Tipo (linea inferiore tratteggiata) all'aumentare delle dimensioni (n) del campione, sempre con a = 0.05, d = 10 e s² = 64.

Figura C. Effetti della variazione della differenza d sulla potenza (1- b) del test,

sempre con a = 0.05, n = 10 e s² = 64

Figura D. Effetti dei cambiamenti della varianza s² sulla potenza (1- b) del test,

sempre con a = 0.05, n = 10 e d = 10.

1) Nella figura A, sono evidenziati gli effetti sulla potenza del cambiamento delle dimensioni del campione, per i due differenti livelli di errori di tipo I più utilizzati = 0.01 (riga inferiore tratteggiata) e = 0.05 (riga superiore continua). E' fatta risaltare la minore potenza di un test con maggiore, in particolare con campioni piccoli (se il campione ha solo 2 dati, la potenza è comunque vicino a zero), mantenendo costante = 10 e = 64.

2) Nella figura B, il concetto è più banale: all'aumentare di aumenta da la potenza (tratto continuo), mentre diminuisce il rischio , mantenendo costanti = 10, = 64, = 0.05.

3) Nella figura C, si fa risaltare l'aumento della potenza (in ordinata) al crescere della differenza , mantenendo costanti = 10, = 64, = 0.05.

4) Nella figura D, è mostrata la diminuzione della potenza all'aumentare della varianza, diversificando da 25 a 200; ma sempre mantenendo costanti gli altri tre: = 10, = 10, = 0.05.