analisi della varianza (ANOVA  I)

a un CRITERIO di classificazione

E CONFRONTI TRA PIU’ MEDIE

 

 

 

10.2.   Confronto tra L’analisi della varianza con due trattamenti e IL test t di Student per 2 campioni indipendenti.

 

 

L'analisi della varianza può essere applicata anche a 2 soli trattamenti; per questo caso, è già stata presentata la metodologia del test t di Student. In realtà, test t e test F sono due modi solo apparentemente differenti per fare la stessa analisi:  il test t può essere visto come un caso speciale di analisi della varianza, applicata solo a due gruppi; meglio ancora, l’analisi della varianza è l’estensione a più gruppi e a più fattori del test t di Student.

 

Nel caso di un solo fattore con due gruppi, tra t ed F esiste una relazione matematica precisa:

 

 che ovviamente può anche essere scritta come

t_(n) =

 dove n è il numero di gradi di libertà.

Il valore di F con gradi di libertà 1 al numeratore e  n al denominatore è uguale al quadrato di t con n gradi di libertà.

Le due distribuzioni dei valori critici per la stessa probabilità a sono equivalenti, come è possibile evidenziare dal semplice confronto tra le tabelle dei valori critici.

 

ESEMPIO.   Due gruppi di 10 uova di Daphnia magna, estratte casualmente dallo stesso clone, sono state allevate in due vasche con diverse concentrazioni di cromo, per verificare se incidono significativamente sulla crescita.

Dopo un mese sono stati misurati gli individui sopravvissuti: 7 nel gruppo A e 8 nel gruppo B, con le dimensioni riportate:

 

 

 

La rappresentazione grafica evidenzia le caratteristiche delle due serie di osservazioni

 

(Alcuni valori sono identici e quindi i punti sembrano meno numerosi dei dati perché sovrapposti. A causa del programma, i gruppi A e B nel grafico sono indicati rispettivamente con 1 e 2).

 

Risposta.  L’ipotesi nulla è

H₀ :   m_A = m_B

e l’ipotesi alternativa H₁ bilaterale è

H₁:  m_A ¹ m_B

 

Prima di procedere sia al test t che al test F, si deve verificare se le due varianze sono omogenee.

Quindi è preliminare al confronto tra le due medie il confronto tra le 2 varianze, per saggiare l’ipotesi nulla

H₀: s²_A = s²_B

con l’ipotesi alternativa bilaterale

H₁:  s²_A  ¹  s²_B

 

A questo scopo si calcolano le 2 devianze ed i loro gradi di libertà, per stimare le varianze rispettive

 

 

 

 

 ed infine il rapporto F tra

-  varianza maggiore (al numeratore) e

-  varianza minore (al denominatore).

Nella tabella dei valori critici, con 7 gradi di libertà per la varianza maggiore e 6 per la varianza minore, il valore critico alla probabilità a = 0.05 è uguale a 4,21. Il valore calcolato (1,42) è inferiore: di conseguenza, si accetta l'ipotesi nulla che le due varianze siano omogenee.

 A questo punto, è corretto procedere al confronto tra le due medie.

 

Per il test t di Student per 2 campioni indipendenti,

 si calcolano le due medie:

 

  e la varianza mediata

 

Da esse si stima il valore di t con gdl 13

 

che risulta uguale a 6,02.

 

Per l'analisi della varianza ad un criterio di classificazione,

si devono calcolare la devianza totale, quella tra trattamenti e quella entro trattamenti, con i rispettivi gradi di libertà.

 

E’ possibile una verifica dei calcoli effettuati, mediante la proprietà additiva delle devianze:

 

Devianza totale  = Devianza tra + Devianza entro

 

 

 

 

Si calcolano la varianza tra e la varianza entro e da esse

 si stima  F con gdl 1 e 13

che risulta uguale a 36,25.

 

E’ semplice verificare che

-  le due risposte coincidono:

t²₍₁₃₎ = F_(1,13);   (6,02)² = 36,25

 

a meno delle approssimazioni determinate dal numero di decimali.

 

Sulle tabelle dei valori critici del test t di Student e del test F di Fisher si controlla la probabilità, che per entrambe risulta ovviamente uguale e nettamente inferiore a 0.001.

Con entrambi i test si rifiuta l’ipotesi nulla alla stessa probabilità.