analisi FATTORIALE E  disegni complessi

CON FATTORI INCROCIATI

 

 

 

12.1.   ANALISI FATTORIALE ED INTERAZIONE

 

 

Quando si studiano due o più fattori a vari livelli, non importa se qualitativi (come diversi tipi di farmaci) o quantitativi (quali la quantità di farmaco o la classe d’età), spesso l’interesse è rivolto ad analizzare non i singoli effetti, ma le interazioni tra i fattori: se, come e quanto ogni livello o modalità di un fattore interagisce con quelli degli altri fattori, esaminati in tutte le combinazioni. Ad esempio, quando si somministra un farmaco a persone di di età e di sesso diverso, può essere di grande importanza sapere se esso ha effetti differenti, potenziati o inibiti, nei giovani rispetto agli adulti o agli anziani, nei maschi rispetto alle femmine Se non esiste interazione, il farmaco mediamente migliore sarà il più adatto per tutte le persone e potrà essere somministrato a tutti indifferentemente, in qualunque condizione; ma se esiste una sua interazione con l’età e/o con il sesso, occorre procedere ad una scelta appropriata mediante lo studio delle interazioni.

Nella ricerca ambientale, quando si confrontano i livelli d’inquinamento in varie zone di una città tenendo in considerazione anche l’ora, è probabile che le aree ad inquinamento maggiore non siano sempre le stesse, ma che presentino variazioni in rapporto alla fase del giorno. Il traffico e l’attività delle fabbriche, che non hanno la stessa intensità a tutte le ore del giorno e sono distribuiti sul territorio in modo non omogeneo, possono determinare graduatorie d’inquinamento che si modificano nel corso della giornata. Di conseguenza, anche le politiche d’intervento potranno essere diverse, se l’interazione tra zone ed ore è significativa quando si analizzano i livelli d’inquinamento.

 

Gli esperimenti fino ad ora analizzati nei due precedenti capitoli sull’analisi della varianza permettono di evidenziare gli effetti principali di ogni fattore, ai suoi diversi livelli; ma esistono anche effetti più complessi, determinati dalla loro azione congiunta, l’interazione.

Quando si analizzano due fattori (a e b), come nel disegno a blocchi randomizzati con repliche, si parla di interazione di primo ordine o di interazione a due fattori (ab).

 

Con 3 fattori con repliche, si hanno

-          gli effetti principali dei 3 fattori (a, b, g),

-          le 3 interazioni di primo ordine (ab, ag, bg) causate dall’effetto dei fattori due a due ed infine

-           una interazione di secondo ordine (abg), determinata dall’effetto congiunto dei tre fattori.

 

Quando si considerano contemporaneamente molti fattori, il numero delle loro combinazioni di primo ordine e di ordine superiore cresce in modo rapido; diventa difficile analizzare tutte le interazioni. Per esempio, con 4 fattori (a, b, g, d) nel modello additivo dell’analisi della varianza con interazione, per ogni singolo valore X_ijkp è possibile stimare gli effetti di 17 quantità

 

     X_ijkp  =  m + a_i + b_j + g_k + d_p + ab_ij + ag_ik + ad_ip + bg_jk + bd_jp + gd_kp + abg_ijk + abd_ijp +

                    + agd_ikp + bgd_jkp + abgd_ijkp + e_ijkpr

 dove:

- m   è la media generale;

- a_i,  b_j,  g_k,  d_p  sono i 4 effetti principali (cioè le );

- ab_ij,  ag_ik,  ad_ip  bg_jk,  bd_jp,  gd_kp   sono le 6 interazioni di primo ordine o a due fattori (cioè le );

- abg_ijk,  abd_ijp,  agd_ikp,  bgd_jkp   sono le 4 interazioni di secondo ordine o a tre fattori ();

- abgd_ijkp    è l’interazione di terzo ordine o a quattro fattori ();

- e_ijkpr    è la varianza d’errore o residuo, misurata attraverso le differenze delle repliche rispetto alla media di casella all’incrocio tra i 4 fattori.

 

Con l’analisi fattoriale della varianza, è possibile fornire una misura per ognuno di questi effetti e stimare la significatività sia dei fattori principali sia delle interazioni dei vari ordini.

In questo modello additivo, si hanno

-          sia interazioni positive (quando la presenza di un fattore potenzia l’effetto dell’altro),

-          sia interazioni negative (quando uno o più fattori si inibiscono in modo vicendevole).

Non esiste interazione e si parla di interazione nulla, quando il risultato complessivo è determinato esclusivamente dalla somma dei singoli effetti principali.