analisi FATTORIALE E  disegni complessi

CON FATTORI INCROCIATI

 

 

12.5.   Il test T di Tukey per il confronto tra le medie in disegni a due  fattori con repliche

 

 

Quando almeno uno dei tre test F risulta significativo, è possibile chiedersi tra quali medie si abbia una differenza effettiva, volendo confrontare quelle di riga, quelle di colonna e/o quelle di casella.

Con un numero costante di repliche entro ogni casella e molte medie, i metodi più semplici sono quelli fondati sulla differenza minima significativa. Tra essi il metodo di Tukey è utilizzato con maggior frequenza.

Con la stessa tabella dei valori del Q studentizzato già riportata, per ognuno dei tre gruppi di medie sono da considerarsi significative le differenze che risultano uguali o maggiori del valore critico T determinato da

 dove

-          il primo indice (a) è la probabilità prescelta,

-          il secondo indice (p) è il numero di medie a confronto simultaneo,

-          il terzo indice (np(r-1)) è il numero di gradi di libertà della varianza d'errore (con n uguale al numero di medie del secondo fattore ed r uguale al numero di repliche),

-           è la varianza d’errore,

-          k è il numero di dati sui quali sono calcolate le medie a confronto.

 

Nel caso del confronto tra varie medie,

 per il fattore A si utilizza la formula

 per il fattore B la formula,

 per le medie di casella la formula

 dove

-          il secondo indice (p, n o np) sono il numero di medie a confronto simultaneo,

-          i denominatori (nr, pr, r) sono il numero di dati sui quali sono stimate le medie a confronto.

 

Le tre formule di seguito riportate

 sono, nell’ordine, l’errore standard delle medie del fattore A, quello del fattore B e quello delle medie di casella.

 

 

ESEMPIO.  Con i dati dell'esercizio precedente (di cui vengono riportate tutte le medie),

 

 

 

nel quale con

;        a = 0.05

 

- per il confronto tra le medie dei tre livelli del fattore A, si utilizza il valore di

Q_3,24 = 3,53

 

- per il confronto tra le medie dei due livelli del fattore B si utilizza

Q_2,24 = 2,92

- e per le 6 medie di casella, ottenute dalle combinazioni dei tre livelli del fattore A e dei due livelli del fattore B, si utilizza

Q_6,24 = 4,37

 

Il confronto tra le 3 medie del fattore A  ( = 25,7     = 26,6     = 17,2)

 

 

 determina 3 differenze (in grassetto nella tabella); di esse sono significative con probabilità

 P < 0.05 quelle che superano la quantità

 

Risultano significative la differenza tra  e  (8,5) e quella tra  e  (9,4) mentre non è significativa la differenza tra le medie di  e  (0,9).

 

Il fattore B ha 2 medie ( = 20,200    = 26,133) e quindi una sola differenza (5,933). Il test F ha già dimostrato che essa è significativa; tuttavia, applicando ugualmente a scopo didattico il test T di Tukey

 

si dimostra che la differenza (5,933) risulta significativa, perché maggiore del valore del T calcolato (2,23).

Il test T di Tukey dimostra la sua utilità soprattutto nel caso di confronti tra più medie: con N medie il numero di confronti è

 

Tra 6 gruppi dell’esempio, il numero di differenze è uguale a 15  

(tutte riportate in grassetto nella tabella sottostante):

 

 

 

 

Tra esse risultano significative alla probabilità a = 0.05 quelle che superano la quantità

 

T uguale a 5,78 (le 9 differenze con l’asterisco).

L’analisi può essere fatta contemporaneamente per più livelli di probabilità (oltre a 0.05 anche 0.01 e/o 0.001), riportando uno, due o tre asterischi vicino alle differenze che sono significative per la probabilità minore.

La rappresentazione tabellare, come quelle grafiche, permette di evitare la lunga descrizione necessaria ad elencare in modo dettagliato quali siano, e a che livello di probabilità, le differenze significative.