LA REGRESSIONE LINEARE SEMPLICE

 

 

16.8.  TEST PER LA SIGNIFICATIVITA DELL’INTERCETTA

 

 

In varie situazioni,  oltre alla significatività del coefficiente angolare , spesso è importante verificare la significatività dell'intercetta .  Si utilizza un test  che, anche in questo caso, può essere effettuato

 

1 -  sia rispetto a zero, quando si presuppone che la retta debba passare per l’origine degli assi e quindi con X = 0 si abbia necessariamente Y = 0;

in questo caso, si verifica l’ipotesi nulla

H₀: a = 0

 

2 - sia rispetto a un qualsiasi valore atteso o prefissato a₀, eventualmente stimato in un altro esperimento;

in questo caso, si verifica l’ipotesi nulla

H₀: a = a₀

 dove

-  a è il valore della popolazione dalla quale è stato estratto il campione con intercetta .

L’ipotesi alternativa H₁ può essere

-  bilaterale, quando non si conosce la direzione della differenza ed entrambe sono accettabili,

-  unilaterale, quando la differenza può essere solo positiva oppure solo negativa.

 

Prima di verificare la significatività statistica, come già discusso nel paragrafo precedente, è bene vagliare il significato disciplinare di . Ad esempio,

-  con i dati biologici dell’esempio precedente (altezza e peso in studentesse), l’intercetta è priva di significato reale, in quanto non esiste nessuna ragazza con altezza 0; pertanto  è solo una costante che serve per calcolare la retta;

- con i dati chimici (concentrazione e fluorescenza), l’intercetta è la quantità di fluorescenza quando la concentrazione della sostanza è uguale a 0; quindi rappresenta l’intensità di fondo della fluorescenza.

 

Il test per la significatività di  è effettuato mediante la stima di un valore  con gdl n-2 (è fondato sulla varianza d’errore della retta).

Il  è stimato con

 dove

-    è l'errore standard dell'intercetta

 ed è calcolato come

con

-   che indica la varianza d’errore della retta

(già utilizzata per stimare la significatività del coefficiente angolare ).

 

 

ESEMPIO 1.  Utilizzando gli stessi 7 dati della relazione peso - altezza, in cui

       = 16,101       = 7       = 510       

 stimare se l'intercetta  si discosta in modo significativo da zero.

 

Risposta.  Per verificare l’ipotesi nulla

H₀: a = 0

 con ipotesi alternativa

H₁: a ¹ 0

 poiché l’errore standard di  

 è uguale a 30,599

 si ottiene un valore del t di Student

 uguale a -2,397 con 5 df.

Per un test bilaterale, il valore critico di t con 5 df alla probabilità a = 0.05 è uguale a 2,571.

Di conseguenza, l'intercetta calcolata non risulta significativamente diversa da zero.

In realtà, il valore è così vicino alla significatività che con un numero maggiore di dati molto probabilmente il test sarebbe risultato significativo.

Con dati biologici, come in questo esempio, l’errore standard di  spesso è molto grande. In particolare, come evidenzia la formula,

 

 

 quando la media  è grande e quindi è lontana dall’origine degli assi.

 

Un secondo aspetto importante è che, per una interpretazione meno affrettata del risultato, sarebbe sempre utile

-  stimare la potenza del test effettuato (vedi paragrafo successivo)

 prima di affermare con sufficiente sicurezza che il coefficiente angolare  e/o l’incetta , come in questo caso, non sono significativi.

 

 

ESEMPIO 2. Con le misure di fluorescenza delle 7 concentrazioni (pg/ml)

 

 

 

 

 con le quali è stata ricavata la retta

 valutare se l’intercetta  = 1,5 è significativamente maggiore di 0.

 

Risposta. Il test è unilaterale, in quanto si vuole verificare se con questo metodo è presente una intensità di fluorescenza di base.

Le ipotesi che si vogliono verificare sono

            contro           

 A questo scopo,

 con la formula

 dove

-  = 1,5  e   = 0

 e, prendendo i valori dai paragrafi precedenti in cui sono utilizzati gli stessi dati,

-   = 0,188        = 7          = 6         = 112

 si ottiene

 

 

 il valore  = 5,08 con 5 gradi di libertà.

Poiché in una distribuzione unilaterale alla probabilità  = 0.005 il valore critico di  con 5 gdl è uguale a 4,0322

 - si rifiuta l’ipotesi nulla, con probabilità di errare P < 0.005.

Esiste una fluorescenza di fondo, statisticamente molto significativa.