DISTRIBUZIONI  e  leggi  di  probabilità'

 

 

2.1.   Elementi di calcolo combinatorio semplice

 

 

La stima della probabilità di un evento è uno strumento fondamentale della statistica. Nelle sue forme più semplici, si fonda sul calcolo combinatorio. E’ evidente ed intuitiva la sua applicazione ai giochi d'azzardo, ai quali effettivamente fu associata alla sua origine. Anche se il risultato di ogni singolo tentativo è imprevedibile, con un numero elevato di ripetizioni si stabiliscono regolarità che possono essere previste e calcolate. Dal punto di vista didattico, l’associazione del concetto di probabilità al calcolo combinatorio è un aspetto importante: serve per collegare una scelta alla probabilità con la quale l'evento atteso può avvenire, nel contesto di tutti gli eventi alternativi possibili. E’ la base dell’inferenza statistica, della scelta scientifica in tutti i casi d’incertezza.

 

I concetti e i metodi del calcolo combinatorio possono essere spiegati in modo semplice, con una serie di esempi, tra loro collegati, per cogliere somiglianze e differenze nelle risposte che forniscono.

In una corsa con 10 concorrenti, che abbiano le medesime possibilità di vittoria, è possibile porsi molti quesiti, tra i quali:

a)        quanti differenti ordini d'arrivo sono possibili?

b)        quale è la probabilità di indovinare i primi 3 al traguardo, secondo l'ordine?

c)        quale la probabilità di indovinare i primi 3, senza considerare il loro ordine?

d)        è conveniente scommettere 10 mila lire per guadagnarne 500 mila, se si indovinassero i primi 2 nell'ordine?

e)        è conveniente senza stabilire l'ordine?

 

Per calcolare le probabilità richieste, occorre prestare attenzione alle 4 caratteristiche fondamentali di questi eventi:

(1)     si escludono a vicenda,

(2)      sono tutti ugualmente possibili,

(3)      sono casuali,

(4)      sono indipendenti.

 

Il calcolo combinatorio di raggruppamenti semplici o senza ripetizione, così definiti in quanto ogni elemento compare una volta sola (in altri termini, lo stesso oggetto deve presentarsi in ciascun gruppo una volta sola), permette di calcolare la probabilità con cui può avvenire ogni evento possibile, che rispetti le 4 condizioni citate.

Se le condizioni fossero differenti, si dovrebbe ricorrere ad altri metodi.

Per esempio, quando lo stesso oggetto può essere presente più volte in uno stesso gruppo (come l’estrazione ripetuta di una carta rimessa ogni volta nel mazzo), si devono utilizzare i raggruppamenti con ripetizione (o calcolo combinatorio con ripetizioni).

 

Nel calcolo combinatorio semplice, i raggruppamenti possibili possono essere distinti in permutazioni, disposizioni, combinazioni.

 

 

2.1.1   Permutazioni semplici.

Dato un insieme di n oggetti differenti a₁, a₂, a₃, ..., a_n,  si chiamano permutazioni semplici tutti i sottoinsiemi che si possono formare, collocando gli n elementi in tutti gli ordini possibili.

Alcuni esempi di permutazione delle 4 lettere a, b, c, d  sono: abcd, abdc, acbd, adcb, cabd, cdba, dbac, cbda, ecc.

 

Il numero di permutazioni di n elementi è

dove n! (n fattoriale) è il prodotto degli n elementi:   n! = .

 

Esempio 1: le permutazioni delle 4 lettere (P₄) a, b, c, d, sono 4!

 

P₄ =

 

 

Esempio 2: le permutazioni di 3 elementi abc sono: abc, acb, bca, bac, cba, cab;

cioè

P₃ =

 

Per i calcoli che saranno proposti durante il corso, è utile ricordare che, per definizione,

e che

Tabella dei fattoriali di interi (per facilitare i calcoli).

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n                                          n!                                         n                                           n!

_________________________________________________________________________________________

 

 

1                                    1                                                 26                                  4.03291 x 10²⁶

2                                    2                                                 27                                  1.08889 x 10²⁸

3                                    6                                                 28                                  3.04888 x 10²⁹

4                                    24                                               29                                  8.84176 x 10³⁰

5                                    120                                             30                                  2.65253 x 10³²

6                                    720                                             31                                  8.22284 x 10³³

7                                    5040                                           32                                  2.63131 x 10³⁵

8                                    40320                                         33                                  8.68332 x 10³⁶

9                                    362880                                       34                                  2.95233 x 10³⁸

10                                  3.62880 x 10^6.                           35                                  1.03331 x 10⁴⁰

11                                  3.99168 x 10⁷                            36                                  3.71993 x 10⁴¹

12                                  4.79002 x 10⁸                            37                                  1.37638 x 10⁴³

13                                  6.22702 x 10⁹                            38                                  5.23023 x 10⁴⁴

14                                  8.71783 x 10¹⁰                           39                                  2.03979 x 10⁴⁶

15                                  1.30767 x 10¹²                           40                                  8.15915 x 10⁴⁷

16                                  2.09228 x 10¹³                           41                                  3.34525 x 10⁴⁹

17                                  3.55687 x 10¹⁴                           42                                  1.40501 x 10⁵¹

18                                  6.40327 x 10¹⁵                           43                                  6.04153 x 10⁵²

19                                  1.21645 x 10¹⁷                           44                                  2.65827 x 10⁵⁴

20                                  2.43290 x 10¹⁸                           45                                  1.19622 x 10⁵⁶

21                                  5.10909 x 10¹⁹                           46                                  5.50262 x 10⁵⁷

22                                  1.12400 x 10²¹                           47                                  2.58623 x 10⁵⁹

23                                  2.58520 x 10²²                           48                                  1.24139 x 10⁶¹

24                                  6.20448 x 10²³                           49                                  6.08282 x 10⁶²

25                                  1.55112 x 10²⁵                           50                                  3.04141 x 10⁶⁴

____________________________________________________________

 

 

2.1.2   Disposizioni semplici.

Dato un insieme di n oggetti differenti a₁, a₂, a₃, ..., a_n si chiamano disposizioni semplici i sottoinsiemi di p elementi che si diversificano almeno per un elemento o per il loro ordine.

Le disposizioni delle 4 lettere a,b,c,d, raggruppate 3 a 3 sono: abc, acb, bac, dba, bda, abd, ecc.

 

Il numero di disposizioni semplici di n elementi p a p è

 

 

Esempio 1: le disposizioni di 4 elementi 3 a 3 sono:

 

Derivato dalla semplificazione di questa formula, un altro modo per calcolare le disposizioni semplici di n elementi p a p è

 

Le disposizioni di 4 elementi 3 a 3 possono quindi essere calcolate anche mediante

 

 

Esempio 2: le disposizioni di 7 elementi 3 a 3 sono:

 

 

2.1.3   Combinazioni semplici

Dato un insieme di n oggetti differenti a₁, a₂, a₃, ..., a_n, si chiamano combinazioni semplici di n elementi   p a p   i sottoinsiemi che si diversificano almeno per un elemento, ma non per il loro ordine.

Le combinazioni semplici delle 4 lettere a,b,c,d, 3 a 3 sono: abc, abd, acd, bcd.

Il numero di combinazioni semplici di n elementi p a p è

 

 

Sotto l'aspetto del calcolo e dal punto di vista concettuale, il numero di combinazioni di n elementi p a p corrisponde al rapporto tra il numero di disposizioni di n elementi p a p ed il numero di permutazioni di p elementi.

Esempio 1: le combinazioni di 4 elementi 3 a 3 sono

 

 

Per le applicazioni, è utile ricordare tre casi particolari:

 

a)           

 

Il numero di combinazioni di n elementi presi n ad  n è 1: c'è un solo sottoinsieme formato da tutti gli elementi.

 

b)           

 

Il numero di combinazioni di n elementi presi 1 a 1 è uguale a n: il numero di sottoinsiemi con 1 solo elemento è n.

 

c)            

 

Il numero di combinazioni di n elementi 0 a 0 è 1: c'è un solo sottoinsieme vuoto.

 

Come è impostato per il calcolo, il numero di combinazioni è solo apparentemente frazionario: risulta sempre n, numero intero, che si indica con il simbolo   chiamato coefficiente binomiale e si legge p su n.

 

2.1.4   Risposte alle domande del paragrafo 2.1

Si è ora in grado di fornire le risposte ai cinque quesiti introdotti nel paragrafo 2.1

 

a) In una corsa con 10 concorrenti, i possibili ordini d'arrivo sono le permutazioni di 10 elementi. Il loro numero è

 

b) In una corsa di 10 concorrenti, il numero dei possibili gruppi differenti formati dai primi 3 all’arrivo, tenendo conto anche del loro ordine, sono le disposizioni di 10 elementi 3 a 3, cioè

La probabilità di indovinare i primi 3 concorrenti secondo l'ordine d'arrivo è 1/720 = 0,001389.

 

c) In una corsa di 10 concorrenti, i possibili gruppi dei primi 3 concorrenti, senza distinzioni interne di ordine, sono le combinazioni di 10 elementi 3 a 3, cioè

La probabilità di indovinare i primi 3 concorrenti, senza stabilirne l'ordine, è 1/120 = 0,008333; è 6 (3!) volte più alta di quella in cui si chiede di indovinare anche il loro ordine.

 

d) Il numero di possibili gruppi formati dai primi 2 concorrenti, stabilendo chi sarà il primo e chi il secondo, in un gruppo di 10 è determinato dalle disposizioni di 10 elementi 2 a 2, cioè

La probabilità di indovinare chi saranno i primi 2 è uguale a 1/90. E un rapporto più sfavorevole del rapporto di 1 a 50 fissato nella scommessa. Per chi scommette non è conveniente vincere 50 volte la posta, quando la probabilità di vincere è 1/90.

 

e) Il numero di possibili gruppi formati dai primi 2 concorrenti, senza stabilire l'ordine, in un gruppo di 10 è dato dalle combinazioni di 10 elementi 2 a 2, cioè

La probabilità di indovinare i primi 2 senza dover stabilire l’ordine uguale a 1/45; è più favorevole del rapporto di 1 a 50 fissato dalla scommessa. Per chi scommette è conveniente, perché l’eventuale guadagno è superiore al rischio. Una scommessa tra i due giocatori è in parità, solamente quando il prodotto tra la probabilità d’indovinare e il moltiplicatore della posta è uguale a 1.

 

ESERCIZI

1. In un esperimento sulla fertilità del terreno, si vogliono studiare in modo sistematico gli equilibri binari tra i seguenti elementi: Ca, Mg, Na, N, P, K.

A.        Quante coppie di elementi occorrerà prendere in considerazione?

 

B.        Se si intende valutare tutti gli equilibri ternari, quanti gruppi diversi formati da tre elementi occorrerà formare?

 

2.  Nel timore che, durante una settimana con molto traffico, il tasso d’inquinamento dell’aria in una città fosse in costante aumento, è stata effettuata una serie di rilevazioni.

A.   Quale è la probabilità che, senza un reale aumento dell’inquinamento e solo per caso, i valori osservati siano tutti in ordine crescente, se sono state fatte 4 rilevazioni?

(Risposta :    P₄ =  4! = 24; la probabilità è 1/24 = 0,04166 o 4,166%)

 

B.   E se durante la settimana è stata fatta una rilevazione per giorno, quale è la probabilità che solo per caso siano tutti in ordine decrescente?

(Risposta :   P₇ = 7! =  5.040; la probabilità è 1/5.050 = 0,000198 o 0,0198%)

 

3.   Per una serie di misure, da un gruppo di animali di dimensioni differenti sono stati estratti alcuni individui.

A.  Se si estraggono casualmente 3 individui da un gruppo di 15, quale è la probabilità che essi siano i 3 con dimensioni maggiori?

(Risposta :  C³₁₅ =   15!/ 3! 12! =  455;  la probabilità è 1/455 = 0,00219 o 0,219%)

 

B. Se si estraggono 4 animali da un gruppo di 20, quale è la probabilità che per caso possano essere i 4 con dimensioni minori?

(Risposta:  C⁴₂₀  =  20! / 4! 16! = 4.845; la probabilità è 1/4.845 = 0,00021 o 0,021%)