CAP III - ANALISI DELLE FREQUENZE

 

 

3.12.   ESERCIZI SVOLTI PER DATI IN TABELLE DI CONTINGENZA

 

 

ESERCIZIO 1.   Per lo studio di frequenze alleliche del marcatore genetico ossidasi in popolazioni naturali di faggio di 4 differenti località dell’Appennino (Abetone, Pisanino, Pradarena, Pradaccio), sono state rilevate le frequenze di 3 alleli.

Le frequenze osservate sono quelle riportate nella tabella sottostante.

 

FREQUENZE  OSSERVATE

 

	Allele 1	Allele 2	Allele 3	Totale
Abetone	7	244	49	300
Pisanino	8	156	24	188
Pradarena	22	231	31	284
Pradaccio	143	185	116	444
Totale	180	816	220	1216

 

Esiste una differenza significativa nella distribuzione delle 3 frequenze alleliche? Si può sostenere che esiste associazione tra località e frequenze alleliche, per cui i 3 alleli non hanno la stessa distribuzione percentuale nelle 4 località?

 

Risposta.  Dai totali marginali delle frequenze osservate, si calcolano le frequenze che dovremmo attenderci se fosse vero che non esiste differenza tra le percentuali dei 3 alleli nelle 4 località (distribuzione attesa, nella condizione che H₀  sia vera).

 

FREQUENZE ATTESE SECONDO L’IPOTESI NULLA

 

	Allele 1	Allele 2	Allele 3	Totale
Abetone	44,4	201,3	54,3	300
Pisanino	27,8	126,2	34,0	188
Pradarena	42,0	190,6	51,4	284
Pradaccio	65,8	297,9	80,3	444
Totale	180	816	220	1216

 

Con la formula generale (Oss. - Att)²/ Att. si calcola il valore del c², che avrà 6 gradi di libertà.

 

 

Si ottiene un chi quadrato con 6 gradi  di libertà uguale a 240,571.

Il valore risulta molto alto; la probabilità a che sia casuale è molto piccola, inferiore a 0,0001.

Si conclude che esiste una differenza altamente significativa, fra le distribuzioni percentuali dei 3 alleli nelle 4 località.

Per una lettura più dettagliata del test, sarebbe utile  valutare quanto ogni casella contribuisce al valore complessivo del chi quadrato. Il confronto tra la distribuzione osservata e quella attesa evidenzia che, rispetto alla media delle 4 zone, all’Abetone e al Pisanino si ha un eccesso dell’allele 2 e una carenza dell’allele 1 e dell’allele 3, mentre al Pradaccio e a Pradarena si ha un eccesso degli alleli 1 e 3 e una carenza dell’allele 2.

 

ESERCIZIO 2. Si sono sottoposti dei cloni di Daphnia magna a quattro diversi trattamenti o regimi alimentari. Dopo 39 giorni si è fatto un bilancio complessivo di quanti sono stati i morti (e i sopravvissuti) in ogni campione. 

Si intende verificare se il tasso di mortalità è uguale per i 4 diversi trattamenti.

Le differenze riscontrate sono dovute al caso, oppure sono imputabili al diverso trattamento alimentare?

 

FREQUENZE OSSERVATE

 

	Cloni  morti	Cloni  sopravvissuti	Totale  cloni
Trattamento I	6	23	29
Trattamento II	2	26	28
Trattamento III	8	22	30
Trattamento IV	3	20	23
Totale	19	91	110

 

 

Risposta.  Si calcolano le frequenze attese

FREQUENZE ATTESE SECONDO L’IPOTESI NULLA

 

	Cloni  morti	Cloni  sopravvissuti	Totale  cloni
Trattamento I	5,0	24,0	29
Trattamento II	4,8	23,2	28
Trattamento III	5,2	24,8	30
Trattamento IV	4,0	19,0	23
Totale	19	91	110

 

e successivamente, attraverso la formula generale, il valore del chi quadrato con 3 gradi di libertà

 

 

Si ottiene un valore  uguale a 4,023 che, per 3 gradi di libertà, è associato ad una probabilità superiore al 25%. La probabilità che sia vera l’ipotesi nulla è molto elevata, superiore al 25%.

Non è possibile rifiutare l’ipotesi nulla: non è dimostrato che i 4 trattamenti determinino una mortalità significativamente differente.

 

ESERCIZIO 3.   Nella tabella seguente, sono riportati i risultati di un esperimento sulla schiusa di uova di Heterocypris incongruens, mantenute a diverse condizioni di temperatura.

 

FREQUENZE OSSERVATE

Temperatura	Uova        schiuse	Uova              non-schiuse	Totale
16°c	131	32	163
24°c	100	64	164
28°c	90	91	181
Totale	320	188	508

 

 

Trarre le conclusioni.

 

Risposta.   Si calcolano le frequenze attese

FREQUENZE ATTESE SECONDO L’IPOTESI NULLA

 

Temperatura	Uova        schiuse	Uova             non-schiuse	Totale
16°c	102,7	60,3	163
24°c	103,3	60,7	164
28°c	114,0	67,0	181
Totale	320	188	508

 

 

e attraverso la formula generale si può computare il valore complessivo del chi quadrato,

 

 

con il contributo fornito da ogni casella

 

 

(OSS. - ATT.)2 / ATT   PER OGNI CASELLA

 

Temperatura	Uova        schiuse	Uova             non-schiuse	Totale
16° C	7,798	13,282	---
24° C	0,105	0,179	---
28° C	5,053	8,587	---
Totale	---	---	35,004

 

 

Il valore del  (uguale a 35,004) è molto elevato; per 2 gradi di libertà, è associato ad una probabilità a estremamente bassa, inferiore a 0.001. Si può affermare che le percentuali di uova schiuse alle 3 diverse temperature sono significativamente differenti.

I contributi maggiori sono forniti dalle due temperature estreme. Alla temperatura più bassa (16° C) il numero di uova che non si sono schiuse è molto maggiore, mentre alla temperatura più alta (28° C) è molto minore delle frequenze attese, se fosse stata vera l’ipotesi nulla che la temperatura non influisce. Alla temperatura intermedia (24° C), la percentuale di uova schiuse è molto vicina alla media dei 3 esperimenti.

 

 

ESERCIZIO 4.   Si sono mantenute per 24 ore in due soluzioni acquose, contenenti uguale concentrazione di rame, due gruppi formati da 48 individui ciascuno, di 2 specie di protozoi: Euplotes patella e Paramecium caudatum.

Alla fine dell’esperimento, si è contato il numero di individui morti  in ognuno dei due campioni. I risultati sono riportati nella  tabella sottostante.

Verificare se la percentuale di decessi è diversa per le 2 specie, sottoposte alle medesime condizioni d’inquinamento.

 

FREQUENZE OSSERVATE

 

	Morti	Sopravvissuti	Totale
Euplotes p.	11	37	48
Paramecium c.	15	33	48
Totale	26	70	96

 

 

Risposta.  E’ una tabella di contingenza 2 x 2 .

Calcolando il chi-quadro, che avrà 1 g.d.l., con la formula rapida

 

 

si ottiene un valore uguale a 0, 843.

 

Una obiezione al risultato può essere che il numero totale di osservazioni non può essere considerato grande. In queste condizioni, a scopo cautelativo e quindi per una maggiore attendibilità delle conclusioni, è conveniente ricorrere al calcolo del chi quadrato con la correzione di YATES per la continuità

 

 

 che (con un valore uguale a 0,4747) si dimostra più conservativa.

 

Con questi dati, è possibile utilizzare anche il metodo del log likelihood ratio o G²:

 

G² =  2×{[ 11×ln(11) + 37×ln(37) + 15×ln(15) + 33×ln(33) + 96×ln(96)] -

- [ 48×ln(48) + 48×ln(48) + 26×ln(26) + 70×ln(70)]} =

 

G² = 2×{[(11x2,398)+(37x3,611)+(15x2,708)+(33x3,497)+(96x4,564)]-

- [(48x3,871)+(48x3,871)+(26x3,258)+(70x4,248)]}=

 

G² = 2×(754,104 - 753,742) = 2 x 0,362 = 0,724

 

Il valore del ² è piccolo anche con questo metodo. E’ simile a quelli prima calcolati; è nettamente inferiore al valore critico di 3,83 corrispondente alla probabilità a =  0.05.

Le variazioni riscontrate rientrano quindi fra quelle imputabili solo al caso.

Non è possibile dimostrare che le due specie hanno reagito in modo differente alla stessa concentrazione di rame.

 

VALORI CRITICI DELLA DISTRIBUZIONE c²  (con gdl da 1 a 30)

 

                                                                                                                                                                                (segue)

VALORI CRITICI DELLA DISTRIBUZIONE c²  (con gdl da 31 a 60)