VERIFICA DELLE IPOTESI

TEST PER UN CAMPIONE SULLA TENDENZA CENTRALE CON VARIANZA NOTA

E TEST SULLA VARIANZA

CON INTERVALLI DI CONFIDENZA

 

 

4.13.   SIGNIFICATIVITA’ DELLA DIFFERENZA TRA  UNA VARIANZA CAMPIONARIA   E UNA VARIANZA ATTESA .

 

 

Nella ricerca scientifica e  nelle applicazioni industriali della statistica non sempre l’attenzione è posta sulla media o sulla differenza tra due medie, come nei paragrafi precedenti. In varie situazioni sperimentali, è utile analizzare la variabilità. In modo più specifico, si richiede:

-  il confronto della varianza di un campione  con quella teorica o attesa ,

-  la misura dell’intervallo di confidenza di una varianza,

-  il confronto tra le varianze di due campioni indipendenti   e  .

Nei capitoli successivi, saranno presentati anche i metodi per il confronto tra le medie e le varianze di più campioni, sia dipendenti che indipendenti.

 

Spesso le misure della varianza e le sue analisi sono più importanti delle misure della media e delle sue analisi, anche se queste ultime ricorrono con frequenza nettamente maggiore e quasi tutta la statistica è finalizzata a questo ultimo scopo.

Ad esempio, in genetica stime della varianza e confronti tra quelle di due o più gruppi sono utili per lo studio di una caratteristica quantitativa: una varianza minore significa maggiore omogeneità genetica del gruppo campionato. Se si intende selezionare individui con valori medi progressivamente migliori, è utile iniziare da un gruppo che presenti una variabilità elevata.

Nella ricerca ambientale, la maggiore o minore variabilità dei livelli d’inquinamento presenti in un’area influisce sulla probabilità che i valori superino i limiti di legge, a parità di valori medi e degli altri parametri della distribuzione. Una media con variabilità piccola è più facilmente accertabile di una con variabilità grande e i risultati sono più prevedibili.

Nell’industria e nelle analisi di laboratorio, lo studio della variabilità è utile anche per vagliare la precisione di uno strumento, la qualità di un reagente o l'attendibilità di una procedura. Esse sono migliori quando le risposte sperimentali sono più stabili, quindi le loro varianze sono minori.

Ricordando che

-  la varianza di una popolazione  è

 

-  la varianza di un campione  è

 

 un metodo per esaminare e confrontare statisticamente la varianza di un campione con una varianza teorica utilizza la distribuzione c².

Come già presentato nel capitolo relativo, quando si dispone di conteggi o frequenze assolute, il valore c² di   conteggi  è

La sua distribuzione

-  è una funzione di probabilità

-  che varia da zero all’infinito positivo

-  e serve per valutare la variabilità (cioè la differenza: Osservato – Atteso) di  misure,

-  considerando i gradi di libertà (quasi sempre uguali a ).

 

In una popolazione normale standardizzata, quindi in un modello teorico che consideri la popolazione, l’ultima formula può essere scritta

come

     oppure    

 poiché

-  la frequenza osservata () coincide con il singolo valore ,

-  la frequenza attesa ()  in ognuno degli  gruppi coincide con la media della popolazione.

Inoltre, dal capitolo sulle distribuzioni teoriche, è importante ricordare che in una distribuzione poissoniana, dove la probabilità  di trovare un individuo del gruppo  è piccola,

-  quindi con  che tende a 0,  si ha   @ 1,

- si ha che la media  e la varianza  (uguale a ) sono approssimativamente uguali (m @ s²).

 

Ne consegue che, con  dati,

-  la devianza di un campione può essere scritta

-  come

 e che la formula iniziale del c²

 diventa

 

Queste due ultime formule evidenziano un concetto importante:

-  il c² con gdl  è un rapporto

-  tra la devianza di un campione di  dati:   =

-  e la varianza vera o della popolazione: .

 

Il confronto tra una varianza campionaria , che abbia  gradi di libertà, e una varianza teorica o attesa  può essere effettuato

-  con un test bilaterale,

 con ipotesi

H₀: s² = s²₀         contro         H₁: s² ¹ s²₀

 

In essa,  il rapporto tra la varianza osservata (s²) e quella attesa secondo l'ipotesi nulla ()

 cioè

 

 può essere maggiore oppure minore di 1, variando da 0 a ¥.

Per rifiutare l'ipotesi nulla H₀ alla probabilità a, il valore calcolato del c²  con gdl  deve essere

-   minore del valore tabulato alla probabilità a/2 nella coda sinistra, cioè c² <

 oppure

-  maggiore del valore tabulato alla probabilità a/2 nella coda destra, cioè c² >

 

La figura successiva descrive l’asimmetria dei due valori critici, quando il chi quadrato ha pochi gdl. E’ una caratteristica che la distingue dalla distribuzione normale, che è sempre simmetrica intorno al valore medio.

Inoltre è semplice comprendere in quali estremi della distribuzione sono collocati  e .

 

Nel test bilaterale, si rifiuta l’ipotesi nulla H₀ quando il valore è troppo piccolo oppure troppo grande  e pertanto cade nella parte colorata, detta zona di rifiuto o non accettazione.

 

 

 

Intervallo atteso di  c²_(n-1) =    ALLA probabilità  0.95 (1-a)

per campioni estratti da una popolazione normale

 

Il test può essere anche

a)  unilaterale destro,

b)  unilaterale sinistro.

 

A)  Il test è unilaterale destro quando si intende verificare solamente se la varianza del campione è statisticamente maggiore del valore  di confronto,

 con ipotesi

H₀: s² £ s²₀        contro         H₁: s² > s²₀

 

 In questo caso, il risultato del test tende a essere elevato e per rifiutare l'ipotesi nulla alla probabilità a il valore calcolato del c² con gdl n-1 deve essere

-  maggiore del valore tabulato alla probabilità a nella coda destra, cioè c² >

(Deve cadere nella parte destra della distribuzione, ma con limite a, non più a/2)

 

B)  Il test è unilaterale sinistro quando si intende verificare solamente se la varianza del campione è statisticamente minore del valore  di confronto,

  con ipotesi

H₀: s² ³ s²₀    contro         H₁: s² < s²₀

 

In questo caso, il risultato del test è basso e per rifiutare l'ipotesi nulla alla probabilità a il valore calcolato del c²  con gdl n-1 deve essere

-  minore del valore tabulato alla probabilità a nella coda sinistra, cioè  c² <

(Deve cadere nella parte sinistra della distribuzione, ma con limite 1- a, non più 1 - a/2)

 

ESEMPIO 1 (TEST BILATERALE).

Con un numero molto alto di dati, ricavati da rilevazioni automatiche frequenti, è stata misurata la quantità di conservante in un alimento prodotto da una azienda; la sua varianza è s² = 1,86.

Sui prodotti di una azienda concorrente, sono stati analizzati sei campioni, con i risultati seguenti:

 

 

 

Le due varianze sono significativamente differenti alla probabilità a = 0.05?

 

Risposta.  Per verificare l'ipotesi bilaterale

H₀: s² = s²₀ = 1,86        contro        H₁: s² ¹ s²₀

- si calcola la devianza del campione.

Supponendo che i dati del campione siano stati estratti da una popolazione normale, con la formula abbreviata

 si ottiene

 

 una devianza uguale a 3,55 con 5 gdl. La sua varianza è

(Nella pratica, è del tutto inutile questo ultimo passaggio per calcolare la varianza, anche se l’ipotesi verte sulla varianza, in quanto dovrebbe poi essere moltiplicata per i gdl)

 

Il valore del c²

 con 5 gdl risulta uguale a 1,91.

 

Per un test con a = 0.05 esso deve essere confrontato con i valori critici riportati nella tabella sinottica per gli stessi gdl (5) alla probabilità 1-a/2   e    a/2 nelle due code:

-  alla probabilità a = 0.975  il valore critico è  c² = 0,831

-  alla probabilità a = 0.025 il valore critico è  c² 0 12,833

Il valore calcolato (1,91) è compreso nell'intervallo tra i due valori critici che definiscono i limiti di accettabilità. Di conseguenza, nell’ipotesi che H₀ sia vera, ha una probabilità superiore al 5% di avvenire per caso.

Non si può rifiutare l'ipotesi nulla. La varianza della seconda ditta non è significativamente differente da quella della prima, almeno con i 6 dati raccolti.

E’ ovvio che all’aumentare del numero di osservazioni aumenta la potenza del test, vale a dire

- la probabilità di dimostrare che il valore calcolato  è diverso da quello atteso

 

ESEMPIO 2 (TEST UNILATERALE).

Se vi fosse stato motivo di credere, prima di raccogliere i dati e come può essere giustificato dall'uso di macchine più moderne, che il prodotto della seconda azienda abbia una varianza minore, il test sarebbe stato unilaterale.

 Le ipotesi sarebbero

H₀: s² ³ s²₀       contro      H₁: s² < s²₀

 

Poiché la varianza campionaria

 

 è  = 0,71 e quindi effettivamente minore di  = 1,86 si tratta di verificare

-  se essa è significativamente minore

-  oppure ne può rappresentare una variazione casuale.

 

Il valore del c²

 

 risulta uguale a 1,91 con 5 gdl.

Deve essere confrontato con il valore critico alla probabilità a = 0,95.

Nella tabella, tale valore critico risulta uguale a 1,145.  E’ minore di quello calcolato (1,91) e pertanto  non è possibile rifiutare l'ipotesi nulla.

 

Se l'ipotesi fosse stata di segno opposto,

H₀: s² £ s²₀        contro         H₁: s² > s²₀

 ovviamente il valore s² calcolato avrebbe dovuto essere maggiore di quello  di confronto (altrimenti l'accettazione dell'ipotesi nulla è implicita); inoltre, per rifiutare l'ipotesi nulla ed accettare l'ipotesi alternativa, il valore calcolato avrebbe dovuto essere maggiore del valore critico 11,071 corrispondente alla probabilità a = 0.05 con 5 gdl nell'altra coda della stessa distribuzione

(Controllare sulla tabella dei valori critici del  c².)