VERIFICA DELLE IPOTESITEST PER UN CAMPIONE SULLA TENDENZA CENTRALE CON VARIANZA NOTAE TEST SULLA VARIANZA CON INTERVALLI DI CONFIDENZA
Quando si dispone di - due campioni indipendenti, - entrambi distribuiti in modo normale, e per ognuno di essi si calcola la varianza
H0: A differenza di quanto avviene quando si confrontano due medie, - dove i test utilizzano la differenza
- il rapporto tra le due
varianze
chiamato variance ratio test. E’ universalmente indicato con la lettera F, in onore di Sir Ronald Aylmer Fisher (1890 –1962). - per due medie la differenza - per due varianze il rapporto Come per la
distribuzione normale e la distribuzione c2, per le applicazioni che ne derivano è
importante conoscere la forma della distribuzione di tale rapporto Nella figura successiva, - la curva
inferiore (con - la curva superiore (con La c2 che ha una
distribuzione differente per ogni grado di libertà. La distribuzione
DISTRIBUZIONE DI
FREQUENZA DEL RAPPORTO
In realtà, per verificare se le due varianze sono uguali, in termini più tecnici per verificare l’ipotesi bilaterale H0: il rapporto non è prefissato ma si utilizza
Valori critici della distribuzione F di Fisher-Snedecor con a = 0.05 I gradi di libertà del numeratore (o varianza maggiore) sono riportati in orizzontale (prima riga) I gradi di libertà del denominatore (o varianza minore) sono riportati in verticale (prima colonna)
NUMERATORE
Valori critici della distribuzione F di Fisher-Snedecor con a = 0.025 I gradi di libertà del numeratore (o varianza maggiore) sono riportati in orizzontale (prima riga) I gradi di libertà del denominatore (o varianza minore) sono riportati in verticale (prima colonna)
NUMERATORE
Valori critici della distribuzione F di Fisher-Snedecor con a = 0.01 I gradi di libertà del numeratore (o varianza maggiore) sono riportati in orizzontale (prima riga) I gradi di libertà del denominatore (o varianza minore) sono riportati in verticale (prima colonna)
NUMERATORE
Valori critici della distribuzione F di Fisher-Snedecor a = 0.005I gradi di libertà del numeratore (o varianza maggiore) sono riportati in orizzontale (prima riga) I gradi di libertà del denominatore (o varianza minore) sono riportati in verticale (prima colonna)
NUMERATORE
- la varianza maggiore ( - la varianza minore ( in modo tale che
il risultato è sempre Si rifiuta l’ipotesi nulla alla probabilità a, quando - il valore F calcolato è superiore al valore critico, riportato dalla tabella alla probabilità a/2, - per i gradi di libertà corrispondenti alla varianza posta al numeratore e a quella al denominatore. In termini più specifici, nel caso di un test bilaterale, - se la probabilità prescelta è a = 0.05 il valore critico
di - se la probabilità prescelta è a = 0.01 il valore critico
di
Nel caso di un’ipotesi unilaterale, quale H0: dove - a priori si è stabilito, ad esempio, che si vuole verificare se la varianza del campione 2 sia effettivamente maggiore di quella del campione 1, si utilizza il rapporto
e si confronta il valore F ottenuto con quello critico, riportato nella tabella di probabilità a, con - df = - df = - è maggiore, si rifiuta l’ipotesi
nulla H0: - è minore, si accetta l’ipotesi
nulla H0: I valori riportati nelle tabelle sono sempre maggiori di 1. Quindi, se risulta - verificare se l’esperimento è stato condotto in modo corretto, - scoprire quale sia il motivo di una risposta opposta a quella attesa. Se l'ipotesi espressa a priori è nella direzione opposta rispetto quella formulata in precedenza, l'unica differenza consiste nello scambio tra numeratore e denominatore.
ESEMPIO 1 (TEST
BILATERALE). Per accertare se i prodotti di due aziende hanno una variabilità
statisticamente differente, su 9 campioni della prima azienda si è ottenuto Verificare se
effettivamente le due varianze sono differenti, alla probabilità
Risposta. Per verificare alla probabilità
complessiva H0: il test F è fondato sul rapporto tra la varianza maggiore e quella minore. Con i dati dell’esempio
si ottiene F = 2,37 con df = 12 al numeratore e df = 8 al denominatore. Nella tabella dei valori
critici per
ESEMPIO 2 (TEST
UNILATERALE). La costanza dei parametri è uno degli indici fondamentali di
buona qualità di un prodotto industriale. In una azienda farmaceutica, per
valutare il miglioramento nell'emissione di uno spray, è stata misurata la
varianza di 20 bombolette del vecchio tipo ottenendo Il miglioramento è statisticamente significativo?
Risposta. E' un
test unilaterale, nel quale si vuole dimostrare che la seconda produzione ha
una varianza reale si vuole verificare l'ipotesi H0:
Con i dati dell’esempio, si applica il test
ottenendo Non disponendo di tabelle dettagliate, che devono essere cercate su testi specifici o sono fornite dai programmi informatici, in quelle precedenti prendiamo come valore molto prossimo al reale quello con 20 gradi di libertà al numeratore e 60 al denominatore. In realtà si dovrebbe fare una interpolazione tra i dati disponibili. Poiché il test è
unilaterale, la probabilità Nella tabella dei valori critici, per i gradi di libertà 20 e 60 - alla probabilità a = 0,025 corrisponde il
valore - alla probabilità a = 0,01 corrisponde il
valore - alla probabilità a = 0,005 corrisponde il
valore Il valore calcolato deve essere confrontato con quello della probabilità minore che risulta significativa. Con i dati dell'esempio, il valore calcolato (2,25) è maggiore di quello critico (2,20), corrispondente alla probabilità a = 0,01. Pertanto con probabilità P < 0,01 di commettere un errore di I tipo, si rifiuta l'ipotesi nulla H0 e implicitamente si accetta l'ipotesi alternativa H1. La conclusione tecnica è che la nuova produzione ha una variabilità di emissione della quantità di spray che è significativamente più costante della produzione precedente. RAPPORTI TRA Per verificare la significatività
della differenza tra una varianza campionaria (
si è utilizzata la
distribuzione Per verificare la significatività della differenza tra due varianze campionarie, calcolate su due campioni indipendenti estratti da due popolazioni distribuite in modo normale,
si è utilizzata
la distribuzione - con gradi di
libertà con gradi di libertà Per comprendere quale relazione sussista
tra nella formula del - al numeratore è riportato il prodotto
della varianza per - al denominatore è riportata la varianza
della popolazione ( Pertanto, alla stessa probabilità a, esiste la relazione
che - il - è uguale al
valore di Ad esempio, nelle rispettive tabelle dei valori critici, alla probabilità complessiva a = 0.05, - il valore di - il valore di Da questi dati si può facilmente ricavare che
i due valori ( Anche questa uguaglianza - tra il valore di - e il valore di è una dimostrazione che i valori di F riportati nelle tabelle sono per una probabilità unilaterale. VALORI DI La distribuzione
dei valori Poiché non sono riportati in tabelle specifiche, se non in pubblicazioni altamente specializzate, può essere utile ricavarli dai valori critici abituali, riportati nelle tabelle di uso comune. A tale scopo, scambiando i gdl tra numeratore e denominatore, è utile calcolare il reciproco, vale la relazione
dove - a = probabilità nella coda destra, ad esempio P = 0.05 - 1- a = probabilità corrispondente nella coda sinistra, ad esempio P = 0,95 - n1 e n2 = gradi di libertà del numeratore e del denominatore, che devono essere scambiati.
ESEMPIO 3. Stimare il valore di F per la probabilità P = 0.95 con gdl 9 al numeratore e 4 al denominatore. Risposta. Dalla tabella dei valori critici, per la probabilità P = 0.05 con gdl 4 al numeratore e 9 al denominatore il valore di F è 3,63. Da
(con simboli non ridotti a pedice per meglio leggere i dati) si ricava che per la probabilità P = 0.95 con gdl 9 al numeratore e 4 al denominatore il valore di F è 0,275.
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e 
, spesso si pone il
problema di testare se esse sono uguali o differenti. Si vuole verificare
l’ipotesi
contro
H1: 
tende a zero e varia
simmetricamente intorno a esso,
tende da 1 e varia
da 1 a 0 oppure da 1 a +
.
e
), fortemente
asimmetrica, è un caso con pochi gradi di libertà; in modo più
specifico, è la distribuzione di frequenza del rapporto F tra la varianza del
campione 1 con 
=
11 dati e la varianza del campione 2 con 
= 5 dati;
e 
), molto più simmetrica, è un caso con un numero
abbastanza alto di gradi di libertà; è la variazione di F quando la varianza
del campione 1 ha
) è posta al numeratore,
) è posta al denominatore,
.
contro
H1: 
al numeratore 
al denominatore.
, automaticamente
l’ipotesi nulla è accettata. Tuttavia, se era ragionevolmente atteso che il
risultato sperimentale fosse 
, sarebbe utile:
= 0.05
. Con 60 bombolette di nuova
produzione, il risultato è stato 
minore.
In termini più formali, 
contro
H1: 
= 2,25
= 2,25 con gradi di libertà (come
indicano i due numeri tra parentesi) 19 al numeratore e 59 al denominatore.
E 
), estratta da una
popolazione distribuita in modo normale, e una varianza attesa (
)
.
al
denominatore
