PROPORZIONI  E  PERCENTUALI,  RISCHI,  ODDS  E  TASSI

 

 

 

5.10.  LA POTENZA DI UN TEST PER UNA PROPORZIONE, CON L’USO DELLA DISTRIBUZIONE BINOMIALE

 

 

La potenza di un test sulla significatività della differenza di una proporzione sperimentale p rispetto ad una  proporzione attesa p₀ può essere misurata in

A)   una distribuzione binomiale,

B)   una distribuzione normale.

 I concetti sono identici, ma la procedura è differente, a motivo delle caratteristiche delle due distribuzioni. In questo caso, le più importanti sono che la binomiale fornisce probabilità esatte, mentre la normale fornisce probabilità cumulate.

 

A - Con una distribuzione binomiale, è necessario calcolare

-  le probabilità di trovare ogni risposta (i) con p uguale al valore di p₀ espresso nell’ipotesi nulla,

-  le probabilità di trovare ogni risposta (i) con p uguale al valore p sperimentale.

Successivamente, si individuano

-  nella prima distribuzione, la zona di rifiuto,

-  nella seconda distribuzione, le probabilità per le stesse risposte (i).

La cumulata di questa seconda serie di probabilità fornisce la stima della potenza (1-b) del test.

La cumulata delle restanti probabilità, cioè per le risposte che nella prima distribuzione cadono nella zona di accettazione, forniscono la stima dell’errore b.

Questa metodologia può essere spiegata in modo più semplice e più facilmente comprensibile con una applicazione.

 

ESEMPIO 1. (POTENZA DEL TEST CON I DATI DELL’ESEMPIO DEL PARAGRAFO PRECEDENTE). In un’area altamente inquinata, esattamente il 50% dei campioni prelevati nei corsi d’acqua superava i limiti di legge.

Dopo un’azione di risanamento, è stata condotta una prima verifica: su 12 prelievi in zone scelte con estrazione casuale, solo 2 superano i limiti di legge.

Stimare la potenza del test binomiale, per

A)  a = 0.05

B)   a = 0.01

 

Risposta.  E’ un test unilaterale, nel quale

-  la probabilità dell’ipotesi nulla è p = 0,5

-  la probabilità sperimentale di confronto è p = 0,167.

 

La procedura richiede alcuni passaggi.

Per entrambe le probabilità (a = 0.05   e   a = 0.01) con la distribuzione binomiale

 si calcolano tutte le probabilità esatte  per  che varia da 0 a 12  (tabella seguente).

 

 

 

 

Successivamente,

A)   per a = 0.05,

 si individua l’area di rifiuto dell’ipotesi nulla nella colonna di p = 0,5.

Essa risulta i = 2, in quanto la somma di questa probabilità insieme con  i = 1  e  i = 0  è inferiore a 0.05; infatti

(0,0002 + 0,0029 + 0,0161) = 0,0192

 il totale delle prime tre probabilità risulta uguale a 0,0192.

Infine, nella colonna di p = 0,167 si sommano le probabilità con i = 0  e  i = 1  e  1= 2

(0,1116 + 0,2685 + 0,2975) = 0,6776

Questa probabilità p = 0,6776 è la potenza del test (1-b).

Infatti, se il numero di risposte positive nel campione è al massimo 2, il test risulta significativo con probabilità a £ 0.05.

 

B)   per a = 0.01,

 come in precedenza si individua l’area di rifiuto dell’ipotesi nulla nella colonna di p = 0,5.

In questo caso, essa risulta i = 1 poiché la somma di questa probabilità insieme con i = 0  è inferiore a 0.01.

Di conseguenza, nella colonna di p = 0,167 si sommano le probabilità con i = 0  e  i = 1

(0,1116 + 0,2685) = 0,3801

Questa probabilità p = 0,3801 è la potenza del test (1-b).

Infatti, con i dati campionari se il numero di risposte positive è al massimo 1, si rifiuta l’ipotesi nulla alla probabilità a £ 0.01.

 

In test bilaterali, la probabilità a considera i due estremi nella distribuzione teorica, in ognuna delle quali si valutano i valori di necessari alla stima della potenza. Inoltre occorre ricordare che la probabilità di b ha sempre una distribuzione unilaterale.

 

1) Per  a = 0.05 la probabilità di trovare per caso uno dei tre valori estremi nelle due code è 0,0384 (dato da  0,0192 x 2)

Tuttavia, con i dati di questo esempio, in pratica i valori di  non vengono modificati, rispetto ad un test unilaterale (la probabilità a = 0,0192 anche se moltiplicata per due è sempre inferiore a 0.05); quindi la potenza non subisce variazioni.

 

Anche con a = 0.01 la potenza del test non varia tra ipotesi unilaterale e bilaterale, a causa della forte discontinuità nelle stime di probabilità con n piccolo.

Con n = 12, la probabilità a complessiva per  i = 0  e  i = 1 è uguale a 0.0031.

Anche se moltiplicata per due, resta inferiore alla probabilità prefissata di a = 0.01.

Di conseguenza, la potenza 1-b del test è ancora 0,3801.

 

Per la stima delle dimensioni minime del campione, con la binomiale si richiedono molte coppie di distribuzioni. Il tempo richiesto dai calcoli diventa molto lungo e quindi è necessario utilizzare programmi informatici.