PROPORZIONI  E  PERCENTUALI,  RISCHI,  ODDS  E  TASSI

 

 

 

5.16. IL RAPPORTO TRA DUE ODDS (OR): INTERVALLO DI CONFIDENZA E SIGNIFICATIVITA’; FORMULA TEST-BASED DI MIETTINEN PER OR

 

 

Nel paragrafo precedente è stato presentato come, in un esperimento con  pazienti, se la cura ha successo per  individui, si può calcolare che

-  la  proporzione del successo è    

-  l’odds del successo è  ,

 

L'uso di un odds in sostituzione di una proporzione, ancor più nel caso di un rapporto tra due odds in sostituzione di un rapporto tra due proporzioni, comporta un vantaggio e uno svantaggio, entrambi rilevanti:

-  il vantaggio deriva dalla proprietà matematiche degli odds che permettono elaborazioni più sofisticate di quanto è possibile con le proporzioni, come nel caso della regressione logistica;

-  lo svantaggio è che l'odds è un concetto privo di senso, mentre una proporzione è un concetto facilmente comprensibile.

La definizione di odds è: il rapporto del numero di eventi diviso il numero di non eventi.

Quindi nella ricerca spesso i concetti sono espressi in proporzioni per stimare il rischio relativo, mentre i calcoli sono effettuati con gli odds, trasferendo le analisi e i risultati dall'uno all'altro.

L’odds è usato in modo proprio  negli studi di caso-controllo quando non è nota la prevalenza della malattia. In tale caso, il rapporto campionario tra due percentuali fornisce una indicazione solo apparente della prevalenza. Per evitare equivoci è quindi appropriato l’uso dell’odds, pubblicato per la prima volta nel 1950 come metodo per gli studi caso-controllo.

 

Per confrontare il successo della stessa cura in due campioni, si può calcolare

 il rapporto dei due odds (odds ratio) utilizzando

 

-  sia le frequenze assolute

 

 

- sia le proporzioni o frequenze relative

 

Questo ultimo rapporto è scritto anche

 

 Per tutte queste formule, la simbologia schematizzata nella tabella:

 

 

Anche in questo caso, come nel paragrafo precedente, il valore di OR ha una distribuzione campionaria che è log-Normale, almeno in modo approssimato. 

Ne consegue che

- sia per costruire l’intervallo di confidenza di r,

- sia per  verificare la significatività di un

 si deve utilizzare non il valore di OR direttamente, ma la sua  trasformazione in .

 

L’errore standard del logaritmo dell’odds ratio

 è

 

Con la solita simbologia delle tabelle di contingenza 2 x 2, applicato allo studio caso-controllo,

 

 

 corrisponde alla formula

 

L’intervallo di confidenza del logaritmo del valore reale dell’odds ratio detto anche intervallo di confidenza di  è delimitato da

- il limite inferiore

 - il limite superiore

 

Da essi è possibile ricavare l’intervallo di confidenza di r (quindi del valore  prima della trasformazione in ) dove

 1 - il limite inferiore è:  scritto anche ,

 2 - il limite superiore è:  scritto anche ;

 

Per verificare l’ipotesi  nulla H₀:  

 che è equivalente sia a H₀: r = 1  sia a  H₀: r = 0

 in un test che può essere sia unilaterale sia bilaterale

 si utilizza la deviata normale standardizzata

 

 

Alternativamente, fondata sulla prima ipotesi nulla qui espressa sulle proporzioni, e come nel paragrafo precedente è possibile utilizzare anche

-  la Deviata Normale Standardizzata della differenza tra due proporzioni

 

 

Ma come per le tabelle  di contingenza 2 x 2 è possibile utilizzare pure

- il test chi-quadrato, il test G, il metodo esatto di Fisher, come illustrati nel capitolo 3

 

FORMULA TEST BASED DI MIETTINEN

Anche in questo caso come nel paragrafo precedente, alla probabilità del 95% i limiti dell’intervallo di confidenza di r possono essere determinati

 con la formula di Miettinen

 dove

- Z è la Deviata Normale Standardizzata della differenza tra due proporzioni, calcolata con l’ultima formula riportata.

Come nel paragrafo precedente, i due approcci dovrebbero fornire risultati approssimativamente simili.

 

ESEMPIO 1 (IL RAPPORTO TRA DUE ODDS E SUOI LIMITI DI CONFIDENZA).  Con gli stessi dati utilizzati per il rapporto R tra due proporzioni del paragrafo precedente, dove  su 180 persone a rischio 108 presentavano patologie e su un campione di controllo dove su 120 persone 60 presentavano patologie,

- calcolare il rapporto dell’odds ratio (OR) e i suoi limiti dell’intervallo di confidenza alla probabilità a = 0.05.

 

Risposta. Dopo aver calcolato aver impostato correttamente i dati in una tabella di contingenza 2 x 2 al fine di meglio comprendere  termini del problema

 

 

 

 

 e aver utilizzato entrambe le simbologie per evidenziarne le corrispondenze

1 - si calcola l’odds ratio stimato con l’esperimento

 

 

2 – Ma per avere, almeno approssimativamente, una distribuzione normale delle risposte campionarie possibili e quindi poter calcolare l’intervallo di confidenza mediante la distribuzione Z,

- tale odds ratio OR deve essere trasformato nel

 logaritmo dell’odds ratio  ()

 

3 – il cui errore standard (ES di )

 è

 oppure

 

 

Poiché per a = 0.05 in una distribuzione normale ridotta bilaterale è riportato  Z = 1,96

 per l’intervallo di confidenza di 

4  - il limite inferiore

 è

 

 - il limite superiore

con probabilità del 95% che quanto affermato sia vero.

 

5 -  Infine, dall’intervallo di confidenza di  si stima l’intervallo di confidenza di .

Quindi, con i dati dell’esempio, intorno al valore medio campionario  come limiti del rapporto vero r si hanno

-  il limite inferiore  =

-  il limite superiore = .

 

Con gli stessi dati,

- nel paragrafo precedente

 il rapporto tra due proporzioni è stato

- in questo paragrafo

 il rapporto tra due odds è

 

Ma quando le frequenze dei successi diventano piccole, come nel caso seguente

 

 

 

 dove     e 

 

-  sebbene il rapporto tra le due proporzioni sia stato mantenuto uguale

 

- il rapporto tra due odds diventa

 

 

 molto simile a quello tra due proporzioni.

E’ una dimostrazione empirica di quanto affermato nella prima parte del paragrafo precedente:

- quando le proporzioni diventano piccole (inferiori a 0,04 - 0,03), il rapporto R tra le due proporzioni e il rapporto OR tra i due odds convergono:

-  quindi è possibile usare il rapporto tra due odds (OR) che gode di proprietà matematiche migliori, seppure i concetti restino diversi.

 

 

ESEMPIO 2 (SIGNIFICATIVITA’ DEL RAPPORTO OR, CON I DATI DELL’ESEMPIO 1). L’odds ratio stimato con l’esperimento riportato nell’esempio precedente è stato .

E’ significativo?

 

Risposta. Il test è unilaterale e per valutare l’ipotesi

H₀: r £ 1      contro      H₁: r > 1

 oppure l’equivalente

H₀:  £ 0      contro      H₁:  > 0

 

1 - servendosi della distribuzione normale ridotta occorre utilizzare la trasformazione di OR

 in

 

2 - il cui errore standard (ES di )

 è

 

3 - Il test

 

 permette di stimare Z = 1,71 che in una coda della distribuzione normale ridotta corrisponde alla probabilità P = 0,044.

Si rifiuta l’ipotesi nulla: il valore di odds ratio è statisticamente significativo.

 

ESEMPIO 3  (USO DELLLA FORMULA DI MIETTINEN, CON DATI DI ESEMPIO 1). Dalla tabella di contingenza

 

 

 

- calcolare i limiti di confidenza dell’odds ratio OR = 1,50 alla probabilità a = 0.05.

 

Risposta. Dopo aver calcolato

-    = 60/120 = 0,5   e    = 108/180 = 0,6

  si stima la proporzione media p

 e il valore

 

 

Infine con OR = 1,5 e

 si trovano

- il limite inferiore L₁ =  = 0,943

- il limite superiore L₂ =  = 2,387.

E’ semplice osservare che, con i dati dell’esempio 1, intorno al valore medio campionario  per il valore reale r, con la distribuzione normale applicata a   si erano stimati

-  il limite inferiore  =

-  il limite superiore = .

 

E’ una dimostrazione empirica dell’equivalenza dei due metodi, data la differenza minima nei risultati.

Anche in questo caso, la formula di Miettinen determina un intervallo leggermente minore. Ma per entrambe le formule sono calcoli effettuati con sole 3-4 cifre decimali.