INFERENZA SU UNA O DUE MEDIE CON IL TEST t DI STUDENT

 

 

6.4.   Il confronto tra LE MEDIE DI DUE CAMPIONI

 

 

Nella ricerca ambientale, le situazioni più ricorrenti sono quelle del confronto tra due medie campionarie. In questi casi, la distribuzione t di Student può essere derivata dal rapporto tra la differenza delle due medie campionarie ed il suo errore standard:

 

Il test di significatività tra due medie campionarie comporta un'ipotesi zero o ipotesi nulla, secondo la quale le due medie a confronto (m₁ e m_) sono estratte dalla stessa popolazione o comunque sono identiche; di conseguenza, le differenze effettivamente riscontrate nelle medie campionarie  e  sarebbero imputabili a variazioni casuali, come effetti dovuti al campionamento, cioè all’estrazione casuale di alcuni dati da un universo teoricamente infinito, formato da valori tra loro diversi e con una distribuzione normale intorno alla loro media..

 

Nell'ipotesi nulla H₀, le due medie dell'universo o popolazione sono identiche:

H₀: m₁ = m₂     oppure     H₀:  m₁ - m₂ = 0

 

Mediante l'inferenza sulle medie calcolate sui dati di due campioni, si determina la probabilità di ottenere tra loro differenze così grandi o maggiori di quelle sperimentalmente osservate, nella condizione che l'ipotesi nulla H₀ sia vera. Se questa probabilità risulta alta, si accetta l'ipotesi nulla; se la probabilità risulta piccola, convenzionalmente inferiore al 5%, come riportato nei testi a scopi puramente didattici, si inferisce che esiste una ragionevole evidenza per dubitare della validità dell'ipotesi nulla, che quindi è rifiutata. Di conseguenza, alla probabilità a stimata di commettere un errore, si afferma l'esistenza di una differenza reale tra le due medie, dicendo che appartengono a popolazioni diverse.

 

L'esempio classico di un test t è il confronto tra un campione di individui sottoposti a trattamento ed un campione di soggetti che servono come controllo; è tuttavia possibile anche il confronto tra le medie di due trattamenti diversi.

Nel primo caso, di norma si tratta di un test unilaterale o a una coda; nel secondo, di un test bilaterale o a due code. Questa direzionalità del confronto è insita nella natura stessa dell'esperimento; ma è sempre importante che essa sia evidenziata in modo esplicito, poiché da essa deriva la distribuzione delle probabilità a con le quali è possibile rifiutare l'ipotesi nulla.

Un test è unilaterale o a una coda, quando il ricercatore si chiede se una media è maggiore dell'altra, escludendo a priori che essa possa essere minore.

Un test è bilaterale o a due code, quando il ricercatore si chiede se tra le due medie esista una differenza significativa, senza che egli abbia indicazioni su quali sia la maggiore o la minore.

Nel test ad una coda, la zona di rifiuto sarà solamente da una parte della distribuzione (a sinistra quando il segno è negativo, a destra quando è positivo); in un test a due code sarà simmetricamente distribuita dalle due parti.

E' maggiore la probabilità di dimostrare l'esistenza di una differenza significativa mediante un test ad una coda che con un test a due code. Con un termine tecnico, si dice che il test a due code è più conservativo, mentre quello ad una coda è più potente.

 

Test unilaterale per  una probabilita’ associata al livello

di significatività del 5% con 10 gdl.

 

 

      

Test bilaterale per una probabilità associata al livello

di significatività del 5% con 10 gdl.

 

Alla probabilità a = 0.05, il valore di t con 10 gdl

-  in un test unilaterale è uguale a 1,8125

-   un test bilaterale è uguale a 2,228.

E’ quindi possibile che con gli stessi dati si possa rifiutare l’ipotesi nulla, se il test è unilaterale, mentre non si possa rifiutarla, se il test è bilaterale.

 

Per il test t di Student, il confronto tra 2 medie può essere attuato

-  sia con 2 campioni dipendenti

-  sia con 2 campioni indipendenti

E' importante distinguere le due situazioni, che dipendono dal modo con cui le due serie di misure a confronto sono ottenute; infatti i due test si differenziano

-  sia nelle procedure di applicazione del test t,

-  sia nel modo di misurare gli effetti della variabilità dei soggetti considerati.