METODI NON PARAMETRICI PER DUE CAMPIONI INDIPENDENTI

9.15. CONFRONTO TRA DUE DISTRIBUZIONI OSSERVATE: IL METODO DI KOLMOGOROV-SMIRNOV PER 2 CAMPIONI INDIPENDENTI CON DATI ORDINALI DISCRETI O A GRUPPI E CON DATI CONTINUI

Una tabella , in cui siano riportate le classi di frequenza di due distribuzioni osservate, può essere analizzata mediante il test di Kolmogorov-Smirnov. A differenza del test e del test G, come condizione di validità non richiede che il numero minimo di osservazioni sia N > 30 e che in ogni classe sia ³ 5.

Il test di Kolmogorov-Smirnov, necessario per piccoli campioni, è utile anche per grandi campioni, quando si abbia un numero elevato di classi od intervalli, poiché in tali condizioni ha una potenza maggiore del test chi quadrato e del test G. Ovviamente la potenza massima è con dati in una scala continua, che rappresenta la proposta originale di Kolmogorov e Smirnov.

Le distribuzioni di frequenza possono riguardare qualunque variabile, da quelle classiche di peso ed altezza, per le quali possono essere applicati anche test parametrici, Alle misure espresse come rapporti, percentuali, valori angolari, colorazioni, indici, punteggi assoluti o relativi, ecc., purché esse possano essere tradotte in ranghi, cioè ordinate per dimensioni o intensità.

Le indicazioni bibliografiche sono uguali a quelle già riportate nel test di Kolmogorov-Smirnov per un campione. Differiscono le indicazioni per le tabelle dei valori critici, che ovviamente per il metodo ora illustrato devono considerare una casistica più complessa, in particolare se i due campioni non sono bilanciati.

Il test di Kolmogorov-Smirnov per due campioni indipendenti è utilizzato per verificare l’ipotesi alternativa se le distribuzioni di frequenza di due campioni appartengano a popolazioni differenti.

E’ un test generalista, cioè permette di valutare la significatività complessiva dovuta a differenze

- sia nella tendenza centrale,

- sia nella dispersione,

- sia nella simmetria e,

- sebbene in modo meno evidente, nella curtosi.

Non è un test specifico per nessuno di questi fattori. Quindi non deve essere utilizzato se l’ipotesi verte su un parametro specifico, come la media e la varianza oppure la simmetria. Tuttavia non tutti i parametri pesano nello stesso modo; è più sensibile alle differenze nelle tendenze centrali, perché incidono sulla differenza complessiva tra le due distribuzioni in modo più marcato.

Se il test risulta significativo, per individuare con esattezza quale caratteristica della distribuzione determini la differenza riscontrata, occorre di conseguenza ricorrere anche all’uso di altri test, che ne verifichino solamente una e che, ovviamente, per quell’uso specifico sono più potenti.

Sotto l’aspetto della ricerca applicata, è utile quando si intende verificare se due serie di valori possono o meno appartenere alla stessa popolazione. Infatti, se hanno origine diversa, è logico supporre che le due serie di dati campionari differiscano in almeno un parametro, senza che a priori sia noto quale.

Il test di Kolmogorov-Smirnov per due campioni può essere utilizzato

- sia con dati misurati su una scala ordinale discreta o con dati continui raggruppati in classi,

- sia con dati continui di una scala di rapporti oppure a intervalli oppure ordinale.

PER DATI DISCRETI O RAGGRUPPATI

Tra i testi internazionali, questo metodo è riportato in

- Siegel Sidney e N. John jr. Castellan del 1988 (Nonparametric Statistics for the Behavioral Sciences, (McGraw-Hill, London), tradotto in italiano nel 1992 Statistica non parametrica 2° ed., McGraw-Hill Libri Italia, Milano, 472 pp.)

del quale sono seguite le indicazioni nella presentazione del metodo e della logica.

In modo analogo al test per un campione, questo per 2 campioni richiede

- che dapprima sia effettuata la trasformazione delle frequenze assolute in frequenze relative entro ogni campione, mediante il rapporto della frequenza di ogni classe con il numero totale di osservazioni;

- successivamente, che entro gli stessi intervalli sia attuato il confronto tra le due frequenze cumulate, per quantificare la deviazione o differenza massima.

Sulla base dell’ipotesi formulata, se unilaterale oppure bilaterale, la differenza massima può essere considerata con il segno oppure in valore assoluto.

Indicando con O₁() ogni valore della sommatoria dei dati osservati nel primo campione e con O₂() ogni valore della sommatoria dei dati osservati nel secondo campione,

- nel caso di un test ad una coda si deve calcolare la deviazione massima D con il segno

D = diff. mass. ( O₁(Xi) - O₂(Xi) )

- per un test a due code non è importante conoscere la direzione della differenza; lo scarto massimo è quindi calcolato in valore assoluto

D = diff. mass. | O₁(Xi) - O₂(Xi) |

Nel caso di piccoli campioni, quando le due distribuzioni hanno al massimo 25 osservazioni (altri testi definiscono i campioni come piccoli fino ad un massimo di 40 osservazioni), si può ricorrere a tabelle specifiche per verificare se la differenza massima tra le cumulate delle frequenze relative supera il valore critico e quindi sia significativa. Sulle tabelle di significatività, le proposte in letteratura sono numerose, in quanto questo test è stato tra quelli che hanno suscitato un dibattito scientifico maggiore. Quelle riportate in queste dispense sono tra le più semplici.

Il valore da confrontare (J) è ottenuto moltiplicando la differenza massima D per le dimensioni dei due campioni n₁ e n₂.

J =

I valori critici sono differenti

- per test a una coda, riportati nella prima tabella

- per test a due code, riportati nella seconda tabella.

La loro impostazione è uguale. Per il loro uso, ricordare che

- sulla prima riga si trova il numero di osservazioni del primo () campione e sulla prima colonna il numero di osservazioni del secondo () campione,

- alla loro intersezione si trovano i tre valori J critici in colonna, associati rispettivamente dall’alto al basso alla probabilità a = 0.10, alla probabilità a = 0.05 e a quella a = 0.01.

Il valore J calcolato (J = D× n₁ × n₂) indica una differenza significativa quando è uguale o superiore a quello critico riportato nella tabella.

Nel caso di un test ad una coda, per esempio

- con 10 osservazioni nel campione 1 e con 12 osservazioni nel campione 2, la differenza tra le due distribuzioni cumulate è significativa

- alla probabilità a = 0.10 quando J ³ 52,

- alla probabilità a = 0.05 quando J ³ 60,

- alla probabilità a = 0.01 quando J ³ 74.

E’ possibile osservare che la distribuzione dei valori critici è simmetrica. Alle stesse probabilità sono identici, quando si hanno 12 osservazioni nel campione 1 e 10 osservazioni nel campione 2.

Valori critici (J) nel test, ad una coda, di Kolmogorov-Smirnov per 2 campioni indipendenti.

Il valore superiore è per a = 0.10; quello centrale per a = 0.05 e quello inferiore per a = 0.01.

	n₂
n₁	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25
3	9	10	11	15	15	16	21	19	22	24	25	26	30	30	32	36	36	37	42	40	43	45	46
	9	10	13	15	16	19	21	22	25	27	28	31	33	34	35	39	40	41	45	46	47	51	52
	**	**	**	**	19	22	27	28	31	33	34	37	42	43	43	48	49	52	54	55	58	63	64
4	10	16	13	16	18	24	21	24	26	32	29	32	34	40	37	40	41	48	45	48	49	56	53
	10	16	16	18	21	24	25	28	29	36	33	38	38	44	44	46	49	52	52	56	57	60	61
	**	**	17	22	25	32	29	34	37	40	41	46	46	52	53	56	57	64	64	66	69	76	73
5	11	13	20	19	21	23	26	30	30	32	35	37	45	41	44	46	47	55	51	54	56	58	65
	13	16	20	21	24	26	28	35	35	36	40	42	50	46	49	51	56	60	60	62	65	67	75
	**	17	25	26	29	33	36	40	41	46	48	51	60	56	61	63	67	75	75	76	81	82	90
6	15	16	19	24	24	26	30	32	33	42	37	42	45	48	49	54	54	56	60	62	63	72	67
	15	18	21	30	25	30	33	36	38	48	43	48	51	54	56	66	61	66	69	70	73	78	78
	**	22	26	36	31	38	42	44	49	54	54	60	63	66	68	78	77	80	84	88	91	96	96
7	15	18	21	24	35	28	32	34	38	40	44	49	48	51	54	56	59	61	70	68	70	72	74
	16	21	24	25	35	34	36	40	43	45	50	56	56	58	61	64	68	72	77	77	79	83	85
	19	25	29	31	42	42	46	50	53	57	59	70	70	71	75	81	85	87	98	97	99	103	106
8	16	24	23	26	28	40	33	40	41	48	47	50	52	64	57	62	64	72	71	74	76	88	81
	19	24	26	30	34	40	40	44	48	52	53	58	60	72	65	72	73	80	81	84	89	96	95
	22	32	33	38	42	48	49	56	59	64	66	72	75	88	81	88	91	100	100	106	107	120	118
9	21	21	26	30	32	33	45	43	45	51	51	54	60	61	65	72	70	73	78	79	82	87	88
	21	25	28	33	36	40	54	46	51	57	57	63	69	68	74	81	80	83	90	91	94	99	101
	27	29	36	42	46	49	63	61	62	69	73	77	84	86	92	99	99	103	111	111	117	123	124
10	19	24	30	32	34	40	43	50	48	52	55	60	65	66	69	72	74	90	80	86	88	92	100
	22	28	35	36	40	44	46	60	57	60	62	68	75	76	77	82	85	100	91	98	101	106	110
	28	34	40	44	50	56	61	70	69	74	78	84	90	94	97	104	104	120	118	120	125	130	140
11	22	26	30	33	38	41	45	48	66	54	59	63	66	69	72	76	79	84	85	99	95	98	100
	25	29	35	38	43	48	51	57	66	64	67	72	76	80	83	87	92	95	101	110	108	111	116
	31	37	41	49	53	59	62	69	88	77	85	89	95	100	104	108	114	117	124	143	132	138	143
12	24	32	32	42	40	48	51	52	54	72	61	68	72	76	77	84	85	92	93	98	100	108	106
	27	36	36	48	45	52	57	60	64	72	71	78	84	88	89	96	98	104	108	110	113	132	120
	33	40	46	54	57	64	69	74	77	96	92	94	102	108	111	120	121	128	132	138	138	156	153
13	25	29	35	37	44	47	51	55	59	61	78	72	75	79	81	87	89	95	97	100	105	109	111
	28	33	40	43	50	53	57	62	67	71	91	78	86	90	94	98	102	108	112	117	120	124	131
	34	41	48	54	59	66	73	78	85	92	104	102	106	112	118	121	127	135	138	143	150	154	160
14	26	32	37	42	49	50	54	60	63	68	72	84	80	84	87	92	94	100	112	108	110	116	119
	31	38	42	48	56	58	63	68	72	78	78	98	92	96	99	104	108	114	126	124	127	132	136
	37	46	51	60	70	72	77	84	89	94	102	112	111	120	124	130	135	142	154	152	157	164	169
15	30	34	45	45	48	52	60	65	66	72	75	80	90	87	91	99	100	110	111	111	111	123	130
	33	38	50	51	56	60	69	75	76	84	86	92	105	101	105	111	113	125	126	130	134	141	145
	42	46	60	63	70	75	84	90	95	102	106	111	135	120	130	138	142	150	156	160	165	174	180
16	30	40	41	48	51	64	61	66	69	76	79	84	87	112	94	100	104	112	114	118	122	136	130
	34	44	46	54	58	72	68	76	80	88	90	96	101	112	109	116	120	128	130	136	140	152	148
	43	52	56	66	71	88	86	94	100	108	112	120	120	144	139	142	149	156	162	168	174	184	185
17	32	37	44	49	54	57	65	69	72	77	81	87	91	94	119	102	108	113	118	122	128	132	137
	35	44	49	56	61	65	74	77	83	89	94	99	105	109	136	118	125	130	135	141	146	150	156
	43	53	61	68	75	81	92	97	104	111	118	124	130	139	153	150	157	162	168	175	181	187	192
18	36	40	46	54	56	62	72	72	76	84	87	92	99	100	102	126	116	120	126	128	133	144	142
	39	46	51	66	64	72	51	82	87	96	98	104	111	116	118	144	127	136	144	148	151	162	161
	48	56	63	78	81	88	99	104	108	120	121	130	138	142	150	180	160	170	177	184	189	198	201
19	36	41	47	54	59	64	70	74	79	85	89	94	100	104	108	116	133	125	128	132	137	142	148
	40	49	56	61	68	73	80	85	92	98	102	108	113	120	125	127	152	144	147	151	159	162	168
	49	57	67	77	85	91	99	104	114	121	127	135	142	149	157	160	190	171	183	189	197	204	211
20	37	48	55	56	61	72	73	90	84	92	95	100	110	112	113	120	125	140	134	138	143	152	155
	41	52	60	66	72	80	83	100	95	104	108	114	125	128	130	136	144	160	154	160	163	172	180
	52	64	75	80	87	100	103	120	117	128	135	142	150	156	162	170	171	200	193	196	203	212	220
21	42	45	51	60	70	71	78	80	85	93	97	112	111	114	118	126	128	134	147	142	147	156	158
	45	52	60	69	77	81	90	91	101	108	112	126	126	130	135	144	147	154	168	163	170	177	182
	54	64	75	84	98	100	111	118	124	132	138	154	156	162	168	177	183	193	210	205	212	222	225
22	40	48	54	62	68	74	79	86	99	98	100	108	111	118	122	128	132	138	142	176	151	158	163
	46	56	62	70	77	84	91	98	110	110	117	124	130	136	141	148	151	160	163	198	173	182	188
	55	66	76	88	97	106	111	120	143	138	143	152	160	168	175	184	189	196	205	242	217	228	234
23	43	49	56	63	70	76	82	88	95	100	105	110	117	122	128	133	137	143	147	151	184	160	169
	47	57	65	73	79	89	94	101	108	113	120	127	134	140	146	151	159	163	170	173	207	183	194
	58	69	81	91	99	107	117	125	132	138	150	157	165	174	181	189	197	203	212	217	253	228	242
24	45	56	58	72	72	88	87	92	98	108	109	116	123	136	132	144	142	152	156	158	160	192	178
	51	60	67	78	83	96	99	106	111	132	124	132	141	152	150	162	162	172	177	182	183	216	204
	63	76	82	96	103	120	123	130	138	156	154	164	174	184	187	198	204	212	222	228	228	264	254
25	46	53	65	67	74	81	88	100	100	106	111	119	130	130	137	142	148	155	158	163	169	178	200
	52	61	75	78	85	95	101	110	116	120	131	136	145	148	156	161	168	180	182	188	194	204	225
	64	73	90	96	106	118	124	140	143	153	160	169	180	185	192	201	211	220	225	234	242	254	275

Valori critici nel test, a due code, di Kolmogorov-Smirnov per 2 campioni indipendenti.

Il valore superiore è per a = 0.10; quello centrale per a = 0.05 e quello inferiore per a = 0.01.

	n_2-
n₁		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25
1																				19	20	21	22	23	24	25
2						10	12	14	16	18	18	20	22	24	24	26	28	30	32	32	34	36	38	38	40	42
									16	18	20	22	24	26	26	28	30	32	34	36	38	38	40	42	44	46
																				38	40	42	44	46	48	50
3				9	12	15	15	18	21	21	24	27	27	30	33	33	36	36	39	42	42	45	48	48	51	54
						15	18	21	21	24	27	30	30	33	36	36	39	42	45	45	48	51	51	54	57	60
										27	30	33	36	39	42	42	45	48	51	54	57	57	60	63	66	69
4				12	16	16	18	21	24	27	28	29	36	35	38	40	44	44	46	49	52	52	56	57	60	63
				0	16	20	20	24	29	28	30	33	36	39	42	44	48	48	50	53	60	59	62	64	68	68
							24	28	32	36	36	40	44	48	48	52	56	60	60	64	68	72	72	76	80	84
5			10	15	16	20	24	25	27	30	35	35	36	46	42	50	48	50	52	56	60	60	63	65	67	75
				15	20	25	24	28	30	35	40	39	43	45	46	55	54	55	60	61	65	69	70	72	76	80
						25	30	35	35	40	45	45	50	52	56	60	64	68	70	71	80	80	83	87	90	95
6			12	15	18	24	30	28	30	33	36	38	48	46	48	51	54	56	66	64	66	69	70	73	78	78
				18	20	24	30	30	34	39	40	43	48	52	54	57	60	62	72	70	72	75	78	80	90	88
					24	30	36	36	40	45	48	54	60	60	64	69	72	73	84	83	88	90	92	97	102	107
7			14	18	21	25	28	35	34	36	40	44	46	50	56	56	59	61	65	69	72	77	77	80	84	86
				21	24	28	30	42	40	42	46	48	53	56	63	62	64	68	72	76	79	91	84	89	92	97
					28	35	36	42	48	49	53	59	60	65	77	75	77	84	87	91	93	105	103	108	112	115
8			16	21	24	27	30	34	40	40	44	48	52	54	58	60	72	68	72	74	50	81	84	89	96	95
			16	21	28	30	34	40	48	46	48	53	60	62	64	67	80	77	80	82	88	89	94	98	104	104
					32	35	40	48	56	55	60	64	68	72	76	81	88	88	94	98	104	107	112	115	128	125
9			18	21	27	30	33	36	40	54	50	52	57	59	63	69	69	74	81	80	84	90	91	94	99	101
			18	24	28	35	39	42	46	54	53	59	63	65	70	75	78	82	90	89	93	99	101	106	111	114
				27	36	40	45	49	55	63	63	70	75	78	84	90	94	99	108	107	111	117	122	126	132	135
10			18	24	28	35	36	40	44	50	60	57	60	64	68	75	76	79	82	85	100	95	98	101	106	110
			20	27	30	40	40	46	48	53	70	60	66	70	74	80	84	89	92	94	110	105	108	114	118	125
				30	36	45	48	53	60	63	80	77	80	84	90	100	100	106	108	113	130	126	130	137	140	150
11			20	27	29	35	38	44	48	52	57	66	64	67	73	76	80	85	88	92	96	101	110	108	111	117
			22	30	33	39	43	48	53	59	60	77	72	75	82	84	89	93	97	102	107	112	121	119	124	129
				33	40	45	54	59	64	70	77	88	86	91	96	102	106	110	118	122	127	134	143	142	150	1545
12			22	27	36	36	48	46	52	57	60	64	72	71	78	84	88	90	96	99	104	108	110	113	132	120
			24	30	36	43	48	53	60	63	66	72	84	81	86	93	96	100	108	108	116	120	124	125	144	138
				36	44	50	60	60	68	75	80	86	96	95	104	108	116	119	126	130	140	141	148	149	168	165
13			24	30	35	40	46	50	54	59	64	67	71	91	78	87	91	96	99	104	108	113	117	120	125	131
			26	33	39	45	52	56	62	65	70	75	81	91	89	96	101	105	110	114	120	126	130	135	140	145
				39	48	52	60	65	72	78	84	91	95	117	104	115	121	127	131	138	143	150	156	161	166	172
14			24	33	38	42	48	56	58	63	68	73	78	78	98	92	96	100	104	110	114	126	124	127	132	136
			26	36	42	46	54	63	64	70	74	82	86	89	112	98	106	111	116	121	126	140	138	142	146	150
				42	48	56	64	77	76	84	90	96	104	104	126	123	126	134	140	148	152	161	164	170	176	182
15			26	33	40	50	51	56	60	69	75	76	84	87	92	105	101	105	111	114	125	126	130	134	141	145
			28	36	44	55	57	62	67	75	80	84	93	96	98	120	114	116	123	127	135	138	144	149	156	160
				42	52	60	69	75	81	90	100	102	108	115	123	135	133	142	147	152	160	168	173	179	186	195
16			28	36	44	48	54	59	72	69	76	80	88	91	96	101	112	109	116	120	128	130	136	141	152	149
			30	39	48	54	60	64	80	78	84	89	96	101	106	114	128	124	128	133	140	145	150	157	168	167
				45	56	64	72	77	88	94	100	106	116	121	126	133	160	143	154	160	168	173	180	187	200	199
17			30	36	44	50	56	61	68	74	79	85	90	96	100	105	109	136	118	126	132	136	142	146	151	156
			32	42	48	55	62	68	77	82	89	93	100	105	111	116	124	136	133	141	146	151	157	163	168	173
				48	60	68	73	84	88	99	106	110	119	127	134	142	143	170	164	166	175	180	187	196	203	207
18			32	39	46	52	66	65	72	81	82	88	96	99	104	111	116	118	144	133	136	144	148	152	162	162
			34	45	50	60	72	72	80	90	92	97	108	110	116	123	128	133	162	142	152	159	164	170	180	180
				51	60	70	84	87	94	108	108	118	126	131	140	147	154	164	180	176	182	189	196	204	215	216
19		19	32	42	49	56	64	69	74	80	85	92	99	104	110	114	120	126	133	152	144	147	152	159	164	168
			36	45	53	61	70	76	82	89	94	102	108	114	121	127	133	141	142	171	160	163	169	177	183	187
			38	54	64	71	83	91	98	107	113	122	130	138	148	152	160	166	176	190	187	199	204	209	218	224
20		20	34	42	52	60	66	72	80	84	100	96	104	108	114	125	128	132	136	144	160	154	160	164	172	180
			38	48	60	65	72	79	88	93	110	107	116	120	126	135	140	146	152	160	180	173	176	184	192	200
			40	57	68	80	88	93	104	111	130	127	140	143	152	160	168	175	182	187	220	199	212	219	228	235
21		21	36	45	52	60	69	77	81	90	95	101	108	113	126	126	130	136	144	147	154	168	163	171	177	182
			38	51	59	69	75	91	89	99	105	112	120	126	140	138	145	151	159	163	173	189	183	189	198	202
			42	57	72	80	90	105	107	117	126	134	141	150	161	168	173	180	189	199	199	231	223	227	237	244
22		22	38	48	56	63	70	77	84	91	98	110	110	117	124	130	136	142	148	152	160	163	198	173	182	189
			40	51	62	70	78	84	94	101	108	121	124	130	138	144	150	157	164	169	176	183	198	194	204	209
			44	60	72	83	92	103	112	122	130	143	148	156	164	173	180	187	196	204	212	223	242	237	242	250
23		23	38	48	57	65	73	80	89	94	101	108	113	120	127	134	141	146	152	159	164	171	173	207	183	195
			42	54	64	72	80	89	98	106	114	119	125	135	142	149	157	163	170	177	184	189	194	230	205	216
			46	63	76	87	97	108	115	126	137	142	149	161	170	179	187	196	204	209	219	227	237	253	249	262
24		24	40	51	60	67	78	84	96	99	106	111	132	125	132	141	152	151	162	164	172	177	182	193	216	204
			44	57	68	76	90	92	104	111	118	124	144	140	146	156	168	168	180	183	192	198	204	205	240	225
			48	66	80	90	102	112	128	132	140	150	168	166	176	186	200	203	216	218	228	237	242	249	288	262
25		25	42	54	63	75	78	86	95	101	110	117	120	131	136	145	149	156	162	168	180	182	189	195	204	225
			46	60	68	80	88	97	104	114	125	129	138	145	150	160	167	173	180	187	200	202	209	216	225	250
			50	69	84	95	107	115	125	135	150	154	165	172	182	195	199	207	216	224	235	244	250	262	262	300

Anche nel caso di grandi campioni, si devono calcolare valori critici differenti se l’ipotesi è a una coda oppure a due code.

Se il test è a una coda, secondo la proposta di L. A. Goodman del 1954 (vedi Kolmogorov-Smirnov tests for psychological research in Psychological Bulletin Vol. 51, pp. 160-168)

il valore critico viene determinato

mediante

c²₍₂₎=

che ha una distribuzione bene approssimata dal c² con 2 gradi di libertà.

Se il test è a due code, il valore critico

- alla probabilità a = 0.05 è dato da

1,36 ×

- alla probabilità a = 0.01 è

1,63 ×

- alla probabilità a = 0.005 è

1,73 ×

- alla probabilità a = 0.001 è

1,95 ×

Alcuni esempi illustrano la metodologia in modo semplice, ma completo nei suoi passaggi logici.

ESEMPIO 1. (CAMPIONI PICCOLI)

Mediante le cartine al tornasole è possibile misurare il pH di alcuni campioni d’acqua. Metodi analoghi di colorazione vengono usati per confrontare la quantità di fosfati e di nitrati.

Su una scala ordinale con intensità crescente, suddivisa in 8 livelli, sono state riportate le frequenze osservate durante una giornata di rilevazioni in due serie differenti di campioni, raccolti all’ingresso ed all’uscita di un depuratore.

All’ingresso sono stati raccolti 10 campioni e all’uscita 12 campioni, secondo la distribuzione dei valori riportata nella tabella sottostante.

DISTRIBUZIONE OSSERVATA

	Intensità della colorazione
	I	II	III	IV	V	VI	VII	VIII
Ingresso	0	0	0	3	6	0	1	0
Uscita	1	4	4	1	1	1	0	0

Questi dati dimostrano che la quantità di sostanza inquinante contenuta nell’acqua all’uscita del depuratore ha frequenze maggiori di valori bassi? (può dipendere da una media inferiore, da una varianza minore, da variazioni nella simmetria)

Risposta. E’ il confronto di 2 piccoli campioni, con un test ad una coda. Infatti in esso si ipotizza che la differenza massima sia nella prima parte della distribuzione, cioè per valori bassi a vantaggio dell’uscita.

1 - Dapprima si trasformano le frequenze assolute in frequenze relative (riga 1 e riga 3)

Calcolo della differenza massima tra le distribuzioni cumulate

	Intensità della colorazione
	I	II	III	IV	V	VI	VII	VIII
1) Ingresso freq. Relativa.	0,000	0,000	0,000	0,300	0,600	0,000	0,100	0,000
2) Distribuzione cumulata Ingr.	0,000	0,000	0,000	0,300	0,900	0,900	1,000	1,000
3) Uscita freq. Relativa	0,084	0,333	0,333	0,084	0,083	0,083	0,000	0,000
4) Distribuzione cumulata Usc.	0,084	0,417	0,750	0,834	0,917	1,000	1,000	1,000
5) Differenza tra cumulate	0,084	0,417	0,750	0,534	0,017	0,100	0,000	0,000

2) Successivamente si calcolano le cumulate Riga 2 e riga 4);

3) Infine, mediante la serie di differenze tra le due cumulate, si individua lo scarto massimo (riga 5), che risulta uguale a 0,750 (nella classe di colorazione III).

4) Il valore J da confrontare con la tabella è

J = 0,750 × 10 × 12 = 90

5) La tabella sinottica che riporta i valori critici per test ad una coda in piccoli campioni,

per n₁ = 10 e n₂ = 12

(anche se è indifferente, perché la tabella dei valori critici è simmetrica)

come valore massimo riporta 74 alla probabilità a = 0.01.

6) Il valore calcolato (J = 90) è superiore; quindi, la probabilità che la differenza riscontrata sia imputabile al caso è P< 0.01. Si rifiuta l’ipotesi nulla, accettando l’ipotesi alternativa che la distribuzione dei dati in entrata e in uscita siano statisticamente differenti.

ESEMPIO 2. (CAMPIONI PICCOLI)

Sovente, all’ambientalista si pone il problema di analizzare la distribuzione territoriale di specie animali o vegetali, per rispondere al quesito se sono più concentrate o più rare in alcune zone oppure se sono distribuite in modo uniforme. Altro quesito importante è se due specie che vivono sullo stesso territorio hanno distribuzione simile o differente, cioè se occupano le stesse aree con la stessa frequenza, quando esse abbiano un gradiente di distribuzione.

Lungo un percorso approssimativamente lineare dalla pianura alla montagna, è stata rilevata la presenza degli individui della specie A e della specie B suddividendo il tragitto in 8 zone consecutive. Si sono raccolte le osservazioni riportate nella tabella sottostante, con il campione della specie A che ha 19 osservazioni e il campione della specie B della quale si sono contati 17 individui.

DISTRIBUZIONE OSSERVATA

	Zone
	I	II	III	IV	V	VI	VII	VIII
Specie A	4	5	0	2	0	0	1	7
Specie B	1	4	4	6	1	1	0	0

Si può sostenere che le due specie hanno un gradiente di distribuzione differente?

Risposta. E’ un test a 2 code e si dispone di piccoli campioni.

1) Dapprima si calcola la differenza massima tra le due cumulate senza considerare il segno, dopo trasformazione delle frequenze assolute in frequenze relative.

Calcolo della differenza massima tra le distribuzioni cumulate

(in valore assoluto)

	Zone
	I	II	III	IV	V	VI	VII	VIII
Specie A freq. Relativa	0,211	0,263	0,000	0,105	0,000	0,000	0,053	0,368
Distribuzione cumulata A	0,211	0,474	0,474	0,579	0,579	0,579	0,632	1,000
Specie B freq. Relativa	0,059	0,235	0,235	0,353	0,059	0,059	0,000	0,000
Distribuzione cumulata B	0,059	0,294	0,529	0,882	0,941	1,000	1,000	1,000
Differenza tra cumulate	0,152	0,180	0,055	0,303	0,362	0,421	0,368	0,000

2) La differenza massima è D = 0,421 (nella zona VI) con n₁ = 19 e n₂ = 17.

3) Il valore da confrontare con la tabella dei valori critici

J = D× n₁ × n₂ = 0,421 × 19 × 17 = 135,98

è J = 135,98.

4) Per un test a due code

con n₁ = 19 e n₂ = 17 alla probabilità a = 0.05 essa riporta 141.

5) Il valore calcolato è inferiore: la probabilità che le differenze siano imputabili al caso è P > 0.05.

Non è possibile rifiutare l’ipotesi nulla.

ESEMPIO 3 (CAMPIONI GRANDI E CONFRONTO TRA TASSI DI SOPRAVVIVENZA).

Con un primo esperimento si è voluto valutare l’effetto di un tossico alla concentrazione del 2%, immettendo in un acquario 150 dafnie per 10 giorni. Con un altro esperimento, si è valutato l’effetto della stessa sostanza alla concentrazione 3% e sono state immesse 200 dafnie.

Nella tabella sottostante, sono riportati i decessi contati ogni giorno nei due differenti esperimenti.

NUMERO OSSERVATO DI DECESSI PER GIORNO

	Giorno I	Giorno II	Giorno III	Giorno IV	Giorno V	oltre V G.
Concentr. 2%	22	43	15	18	16	36
Concentr. 3%	19	39	31	52	59	0

Dai due esperimenti di laboratorio è dimostrato che la concentrazione maggiore abbia una letalità significativamente maggiore, come appare logico attendersi?

Risposta. E’ un test ad una coda, con due campioni di grandi dimensioni. Occorre verificare se la concentrazione al 3% ha una frequenza relativa maggiore nei valori bassi e quindi una frequenza relativa minore nei valori alti.

1) Si deve calcolare la differenza massima tra le due distribuzione cumulate osservate, dopo trasformazione nelle frequenze relative.

FREQUENZE RELATIVE DI DECESSI PER GIORNO

	Giorno I	Giorno II	Giorno III	Giorno IV	Giorno V	Oltre V
Concentr. 2% Freq. Relativa Distr. Cumulata	0,147 0,147	0,287 0,434	0,100 0,534	0,120 0,654	0,106 0,760	0,240 1,000
Concentr. 3% Freq. Relativa Distr. Cumulata	0,095 0,095	0,195 0,290	0,155 0,445	0,260 0,705	0,295 1,000	0,000 1,000
Differenza	0,052	0,144	0,089	-0,051	-0,240	0,000

2) Per un test ad una coda, la differenza massima nella direzione dell’ipotesi alternativa è 0,240. La sua significatività è stimata dalla distribuzione c² con 2 gradi di libertà

c²₍₂₎=

dove con D = -0,240; n₁ = 150; n₂ = 200

c²₍₂₎= = 0,2304 = 19,75

si ottiene = 19,75.

3) Alla probabilità a = 0.001 il valore critico per 2 gradi di libertà riportato nella tabella sinottica del c²è uguale a 13,82.

4) Il valore calcolato con i dati dell’esempio è superiore: si rifiuta l’ipotesi nulla e si accetta l’ipotesi alternativa di una maggiore letalità del tossico alla concentrazione 3%.

5) Se il confronto fosse stato tra due tossici diversi A e B per un test a due code, in cui verificare le differenze nella distribuzione del numero di cavie decedute per giorno, la stima della significatività della differenza massima (uguale a 0,240) avrebbe dovuto essere confrontata,

- per la probabilità a = 0.05, con il valore critico ottenuto dalla relazione

1,36× = 1,36× = 0,147

che è uguale a 0,147

- e alla probabilità a = 0.001 con il valore critico

1,95× = 1,95× = 0,211

che è uguale a 0,211.

Per entrambe le formule, n₁ = 150 e n₂ = 200 osservazioni.

La differenza massima riscontrata tra le due distribuzioni cumulate sarebbe risultata significativa.

In un test unilaterale, la differenza è significativa con probabilità P < 0.001

Come accennato in precedenza, il test proposto originariamente da Kolmogorov nel 1933 per un campione è stato esteso da Smirnov nel 1939 a due campioni (On the estimation of the discrepancy between empirical curves of distribution for two independent samples, pubblicato su Bull. Moscow Univ. Intern. Ser. (Math) Vol. 2, pp.3-16), ma sempre per una scala continua.

A motivo delle sue applicazioni numerose e importanti, è stato sviluppato anche per gruppi e/o variabili discrete da vari autori. Tra essi,

- W.J. R. Eplett nel 1982 (con The distributions of Smirnov type two-sample rank tests for discontinuous distributions functions pubblicato su Journal of the Royal Statistical Society B 44 pp. 361 – 369),

- G. P. Steck nel 1969 (con The Smirnov two sample tests as rank tests , in Ann. Math. Statist. Vol. 40, pp. 1449 – 1466)

PER DATI CONTINUI

E’ la sua proposta originale. Tra i testi internazionali è riportato in

- Hollander Myles, Wolfe Douglas A., 1999, Nonparametric Statistical Methods, 2^nd ed. John Wiley & Sons, New York, 787 pp.

La metodologia può essere illustrata con un esempio.

1) Si supponga di avere rilevato la quantità di una proteina nel sangue di persone affette (A) da una malattia e del gruppo di Controllo (C), per valutare se le due distribuzioni di dati differiscono. In varie condizioni, la malattia incide sulla media, in altre aumenta sensibilmente la variabilità o la diminuisce oppure modifica la forma della distribuzione, accentuandone l’asimmetria, per la presenza di valori anomali in funzione della gravità della malattia.

A	0,15	1,20	2,30	3,10	3,21	3,58	3,71	4,03	5,22	7,13
C	0,94	0,96	0,99	1,65	1,80	1,99	2,22	2,42	2,48	3,45

Quando due distribuzioni sono differenti, non importa per quale parametro, è logico dedurne che la causa o fattore che le determina siano differenti. Diventa una indicazione importante per individuarli, anche se l’interpretazione e la spiegazione è compito del medico o biologo.

2) Con i valori riportati si costruisce una distribuzione unica: colonna 1 e colonna 2.

(1)	(2)	(3)	(4)	(5)
A	C	Cum. A	Cum. C
0,15		0,1	0,0	0,1
	0,94	0,1	0,1	0,0
	0,96	0,1	0,2	0,1
	0,99	0,1	0,3	0,2
1,20		0,2	0,3	0,1
	1,65	0,2	0,4	0,2
	1,80	0,2	0,5	0,3
	1,99	0,2	0,6	0,4
	2,22	0,2	0,7	0,5
2,30		0,3	0,7	0,4
	2,42	0,3	0,8	0,5
	2,48	0,3	0,9	0,6
3,10		0,4	0,9	0,5
3,21		0,5	0,9	0,4
	3,45	0,5	1,0	0,5
3,58		0,6	1,0	0,4
3,71		0,7	1,0	0,3
4,03		0,8	1,0	0,2
5,22		0,9	1,0	0,1
7,13		1,0	1,0	0,0

3) Per ognuna delle due distribuzioni si calcola la cumulata fino a quel punto, con le frequenze relative (Per motivi didattici è stata scelta una forma molto semplice; quindi i due campioni hanno 10 dati ognuno).

La colonna 3 rappresenta la cumulata fino a quel dato dei valori continui riportati nella colonna 1.

La colonna 4 rappresenta la cumulata fino a quel dato dei valori continui riportati nella colonna 2.

4) Si calcolano tutte le differenze tra le due cumulate, come nella colonna 5.

La differenza massima è in coincidenza dal valore 2,48 e = 0,6

5) Per i valori critici è possibile utilizzare la tabella riportata (anche se esistono proposte molto più sofisticate) A questo scopo si calcola J

J = D× n₁ × n₂ = 0,6 × 10 × 10 = 60

ottenendo J = 135,98.

- Nella tabella, per un test bilaterale, con n₁ = 10 e n₂ = 10 sono riportati

- alla probabilità a = 0.10 quando J ³ 60,

- alla probabilità a = 0.05 quando J ³ 70,

- alla probabilità a = 0.01 quando J ³ 80.

Di conseguenza, il test non risulta significativo, avendo una probabilità P = 0.10

6) Utilizzando la formula per grandi campioni, il valore critico alla probabilità a = 0.05 è ottenuto dalla relazione

1,36× = 1,36× = 1,36 × = 0,608

e risulta uguale a 0,608.

Poiché la differenza massima (0,6) è inferiore al valore critico calcolato, con P > 0.05 non è possibile rifiutare l’ipotesi nulla. Ma si potrebbe affermare che è molto vicino al valore critico. In realtà la situazione è differente.

Avvertenza importante. Con la probabilità stimata leggermente superiore a 0.05, si sarebbe potuto affermare che la risposta è tendenzialmente significativa. Purtroppo è ottenuta con la formula approssimata che, come spesso avviene, determina probabilità inferiori alla realtà. Quindi con essa aumenta la probabilità di trovare una differenza, quando nella realtà essa non esiste. Tra le due possibilità d’errore (probabilità minore o maggiore del reale) per lo statistico quella è più grave, che non dovrebbe mai commettere, in quanto induce ad una scelta errata e afferma una cosa non corretta.

Usando i computer, che possono avere in memoria tabelle molto complesse, la probabilità fornita dovrebbe non avere questi errori di approssimazione asintotica.

Ingresso

J = 0,750 × 10 × 12 = 90

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